浅谈培养学生运用数学知识和方法解决物理问题的能力

杨明军

摘 要：应用数学知识和方法解答物理问题是非常重要的手段，借助物理知识渗透考查数学能力是历年来高考命题的主题，培养学生运用数学知识和方法提高解决物理问题的能力也是高中物理教学尤其是高三复习备考工作的重中之重。结合常用的数学知识和方法在全国高考物理试题中的体现，谈谈如何在教学实践中培养学生运用数学知识和方法提高解决物理问题的能力。

关键词：数学知识和方法；物理问题；教学实践

一、对高考能力要求的理解

在全国高考考试说明中，对应用数学处理物理问题的能力阐述是：“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”根据对考试说明的理解，应用数学的能力可分以下三个层次：

第一，将“物理”问题转变成“数学”问题的能力。学生根据题设条件与过程，结合物理概念和规律，用数学知识把具体物理量间的关系列为方程形式，并进行推导和求解。

第二，将“数学”问题回归到“物理”问题的能力。学生用数学知识推出了物理量间的定量关系，但仍无法完整准确地得出物理结论，还需要根据一定的数学知识通过一定的数学处理，才能彻底明了所要研究的物理问题。

第三，应用几何图形、函数图象表达和分析物理问题的能力。在用数学知识推导和求解得出物理结果后，有时往往还需要用图形或函数图象来描述和表达这个结果，反之根据图形或图象我们也可以定性或定量来研究物理量间的关系或物理过程的发展规律和趋势，因此应用几何图形、函数图象表达和分析物理问题的能力是物理教学必不可少的一部分，是高考能力考查的重要方面。

二、常用的数学知识和方法在物理试题中的体现

高考全国卷物理试题不仅仅考查对物理知识的掌握程度，从近年试题分析来看，也越来越重视对考生能力的考核。我们可以看到在高考选择题、实验题、计算论述题中都有注重考核应用数学处理物理问题的能力的试题。这就要求学生要适应全国卷物理试题的考查特点，在解决物理问题时能灵活地运用相关知识，从不同的角度或用不同的方法来处理，尤其要重视数学思想与方法的渗透和应用。

常见的数学思想有数形结合思想、方程函数思想、分类讨论思想、化归转化思想，由以上思想衍生出常见的数学方法有图像求解法、几何图形法、三角函数法、指数对数法、数学比例法、数列极限法、空间向量的坐标运算法、导数微元法、排列组合二项式定理法，都可以成为解答高考物理试题中的数学工具。

在广东省考生失分相对较多的实验能力考核中，要求考生有记录、处理实验数据的能力。全国卷高考设计性实验和验证性实验试题中有具体数据，有时要在直角坐标系画图，经分析能得出结论，这个过程需要考生有数形结合思想、数学运算能力。

例一：如图甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的两端与桌面的两端对齐，一小木块放在木板的正中间。木块和木板的质量均为m，木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数都为μ。现突然以一水平外力F将薄木板抽出，要使小木块不从桌面上掉下，则水平外力F至少应为________。（假设木板抽动过程中始终保持水平，且在竖直方向上的压力全部作用在水平桌面上）

解法一（方程函数思想）：F越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑下。设拉力为F0时，木块恰好能滑至桌面的边缘，再设木块与木板分离的时刻为t1，在0～t1时间内有：

■·■·t12-■ μ gt12=■

对t1时间后木块滑行的过程，有：

■=■=■-■ μ gt12解得：F0=6 μ mg.

解法二（数形结合思想）：F越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑出。若木块不从桌面滑出，则其v-t图象如图乙中OBC所示，其中OB的斜率为μ g，BC的斜率为-μg，t1=t2

有：S△OBC=■· μ gt12×2≤■

设拉力为F时，木板的v-t图象为图乙中的直线OA，则S△OAB=■

即■（v2-v1）·t1=■

其中v1= μ gt1，v2=■·t1解得：F≥6 μ mg

三、提高学生运用数学处理物理问题能力的教学实践

1.在高一、高二的概念、规律教学中渗透数学知识与方法，提高学生在建立概念、推导规律中应用数学知识的能力，领会数学与物理的紧密联系。如：在速度、加速度、电场强度、电容等概念建立过程都用到了比值定义的方法，平均速度的概念用到极限的思想；匀变速直线运动由基本公式可推导出多个结论，牛顿定律推导得出动能定理，动能定理推导得出机械能守恒定律与功能关系，历史上牛顿的万有引力定律就是在开普勒定律基础上用数学推导得来的；匀变速直线运动位移公式的推导用到了函数图象与微元法，向心加速度公式推导用到了向量求解、微元法、平面几何知识等。

2.在习题教学中渗透数学思想与方法，在习题练习后帮助学生总结一些典型物理问题中所需的数学知识与处理方法，如，平衡问题通常需要用到三角函数知识；带电粒子在磁场中运动通常用到平面几何知识（定圆心、半径、圆心、轨迹）；平抛或类平抛通常分解到两方向然后联立方程求解；在相同或相似的物理过程、物理模型中来比较某个量往往用到求比例的思想、数学求极值的思想等等。

3.在实验教学中渗透数学思想与方法，培养学生在实验的基础上，运用数学方法分析实验数据、得出物理结论的能力，特别是作图能力、函数图象处理数据的能力及分析实验结论的能力。如，胡克定律在探究弹簧伸长与弹力的实验基础上通过作F—ΔX图象得到；通过实验数据描绘出小灯泡的U—I图象来定性得出金属电阻率与温度的关系；牛顿第二定律中研究a与m关系时，先通过实验获得实验数据，再描a—m图象，非线性不能得出定量关系，猜测成反比，再作a—1/m图象，线性，得出定量关系，等等。函数思想和函数图象是高考重点考查的数学能力，只有在平时重视培养才能在高考中做到游刃有余。

4.在高考复习中进行相应数学知识解决物理问題的专题训练，是提高学生应用数学知识解决物理问题能力的有效方式。专题训练不必面面俱到，要有重点有计划，不必大量训练，关键要典型、有针对性，不要为了练而练，而要引导学生总结归纳，切实有效地提高自身的能力。笔者所任教班级一般每年都设计“方程组求解”专题、“求极值”专题、“函数图象”专题，然后帮助学生总结相应的方法。

5.在学生的作业中挖掘一些典型的错误，教师与学生一起互动讨论，找出误区，总结注意点，明确正确做法，往往会起到事半功倍的作用。

在物理教学过程中，老师要有意识地培养学生运用数学知识和方法解决物理问题的能力，决不能等到高三复习备考再进行强调和重视，在基础年级阶段的概念、规律、习题和实验教学中渗透数学知识与方法，提高学生在建立概念、推导规律中应用数学知识的能力，领会数学与物理的紧密联系，在接下来的高三复习备考中顺势而为，强化用相应数学知识解决物理问题的专题训练，做好分析、讨论、反馈、评价和提升等教学环节。这样，学生运用数学知识和方法解决物理问题的能力才能得到实质提高。

参考文献：

[1]杨春发.数学思想在高中物理解题中的应用[J].数理化学习（高中版），2015（1）.

[2]赵文萍.培养高中生运用数学知识解决物理问题能力的实践[D].内蒙古师范大学，2013.

编辑 郭小琴endprint