三角函数性质的研究与拓展

■黑龙江省大庆市第一中学高二(13)班 秦嵩博

三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。初学三角函数时,会感觉比较简单,只要公式背会了就可以了,随着学习的深入,变化越来越多,越来越复杂,题目给的条件少了不知道怎么办,题目给的条件多了又不知道如何下手。经过总结,我们可以发现要想顺利求解此类问题,需要善于创设丰富的情境,把单纯的三角函数转化为便于理解的模型,下面就以一道教材中的习题为例,由浅入深进行研究,希望对同学们有所启发。

一、原题

如图1,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω做圆周运动。求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式,并求点P运动的周期和频率。

二、分析

我们可以将其转化为下面的数学模型:点P在以坐标原点为圆心,A(A＞0)为半径的圆上做匀速圆周运动,以ω为角速度,0时刻点P在P0位置上,OP0所在的边与x轴非负半轴成φ角,求点P的纵坐标y和时间x(x∈R)的关系。

容易得到结论:经过时间x后以OP为终边的角为ωx+φ,所以y=Asin(ωx+φ)(逆时针旋转时ω＞0,顺时针旋转时ω＜0),其中ωx+φ称为相位,φ称为初相。

这道课本习题反映的思想:三角函数的研究与认识始终以单位圆为重要的研究工具,对其性质进行深入的探究,主动加以应用,才能做到举一反三,灵活运用。

图1

三、三角函数的性质探究与圆周运动解释

1.性质探究。

(3)单调性:①ω＞0时,如图2,点P按逆时针方向旋转,所以当程中随着时间x的增加函数值y也会从-A→0→A逐渐增加,所以由-2π＜ωx+φ＜2π能够得到该函数的一个单调增区间,因此通过解不等式得到该函数的所有的单调增区间。同理,通∈Z)可以得到该函数的所有的单调减区间。可以得到该函数的所有的单调减区间。同理,通过解不以得到该函数的所有的单调增区间。

图2

图3

2.圆周运动的解释。

在圆周运动过程中函数图像的变化如下:

y=Asin(ωx+φ)+h(A＞0,ω＞0)图像的变化:

①y1=sinx→y2=Asinx。

图像变化:横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍。

圆周运动的解释:在同样的时刻,点P2的纵坐标是单位圆上对应的点P1纵坐标的A倍。

②y2=Asinx→y3=Asin(ωx)。

④y4=Asin(ωx+φ)→y5=Asin(ωx+φ)+h。

图像变化:如果h＞0,则图像向上平移h个单位;如果h＜0,则向下平移h个单位。

圆周运动的解释:相对于y4来说,圆周运动的圆心从点(0,0)变为了点(0,h)。

总之,三角函数是刻画周期变化的一种重要模型,匀速圆周运动是该模型的一个典型代表,只要抓住这个要领,就能以简取繁,让整个三角函数的研究从角到函数性质与图像浑然一体,给人豁然开朗的感受。