具有异质性扩散率的传染病模型分析

李争光,刘茂省

(中北大学理学院，山西太原 030051)

具有异质性扩散率的传染病模型分析

李争光,刘茂省

(中北大学理学院，山西太原 030051)

为了刻画大尺度空间范围内的个体移动对疾病传播的影响，主要研究了异质集合种群网络的传染病传播过程。由于城市之间存在规模以及交通发达程度等方面的异质性, 扩散率也存在一定的异质性。以城市作为节点,建立了具有异质性扩散率的传染病动力学模型,更加准确地刻画了网络结构以及人们的出行对疾病传播的影响。通过对系统进行定性及稳定性分析,发现系统存在一个无病平衡点, 并得到了无病平衡点不稳定的阈值条件。当达到疾病爆发的阈值条件时,系统存在唯一的地方病平衡点, 并且地方病平衡点是局部渐近稳定的。通过数值模拟验证了理论的正确性。研究表明, 增大扩散率能加快疾病的流行速度，因此, 通过有效控制大城市的人口出行率可以在一定程度上控制疾病的爆发。

传染病学；集合种群；异质性；反应扩散方程；扩散率；稳定性

集合种群描述的是具有一定空间结构的子种群间的相互作用关系。传染性疾病的传播不仅依赖于疾病的生物学特征, 而且还依赖于种群之间的接触方式。均匀混合传染病动力学模型的特点是将人群看作是均匀混合的[1],近来一些专家学者考虑网络的异质性，体现了一定的地理差异、种群结构的差异等因素，更具有实际意义[2-4]。COLIZZA等[2]做了许多代表性的工作，主要考虑交通驱动下的个体移动对疾病传播的影响，给出了不相关网络下的疾病传播阈值。有些研究考虑的是具有异质性扩散率的网络传染病传播模型，因为每个节点都存在一定的异质性，体现在实际网络中，有城市规模的异质性、交通条件的异质性等方面，导致扩散率也存在着一定的异质性[3,5-8]。因此, 不仅考虑小尺度范围内的疾病流行规律[9-10], 同时也考虑大尺度空间范围内的扩散对疾病流行规律的影响，更加符合网络异质性的本质要求。

1 有反应扩散过程的集合种群模型

根据文献[11—12]的研究，通常用反应扩散方程来描述这一传播过程，而且假设反应、扩散过程是同时发生的[13-14]。

文献[12]中采用SIS模型：

这里的μ表示恢复率，β代表染病率。染病者个体以及易感者个体在子种群间的扩散率分别为DI，DS(DI，DS为非负数)。网络中考虑一个城市作为一个节点，城市与城市之间的人口流通代表边。城市的人口平均密度用ρ0表示，种群中的内部个体认为是均匀混合的。在网络传染病的研究中，一个重要的量是度(k)，度是刻画一个节点的连边数。在文献[15—16]中考虑的是按节点建模的方法。假设有N个节点，对每个节点i来说，反应扩散方程可表示为

这里Aji(1≤j≤N,1≤i≤N)为邻接矩阵:Aji=1代表节点i与节点j之间有连接;Aji=0代表节点i与节点j之间没有连接。在很小的时间段Δt内，在度为ki的节点i中，一个易感者(染病者)个体任意选择一个邻居节点并移动到邻居节点的概率为DSΔt/ki(DIΔt/ki)。

2 具有异质性扩散率的模型分析

(1)

上述系统的ρ0=ρ(t)=ρS(t)+ρI(t)，为常数。

系统的无病平衡点为

3 无病平衡点稳定性分析

上述系统在无病平衡点处的雅克比矩阵可表示为

其中，A,B,C,D均为阶N×N的矩阵块，其中C矩阵块为N×N阶的零矩阵块。所以有:

PJ(λ)=P(λA)P(λD),

下面，需要分析A矩阵块的特征值，取

对于矩阵块D，有:

因此，给出如下定理。

注定理1只是无病平衡点不稳定的充分不必要条件，而且可以看出，若ρ0足够大，无病平衡点总是可以达到不稳定状态。在理想状态下，R*的最大值可取为

4 地方病平衡点的存在唯一性证明

由系统可知，地方病平衡点

满足下式

(2)

将(2)代入系统(1)中的第2个式子可得:

(3)

(4)

(5)

(6)

5 地方病平衡点的稳定性分析

系统在正平衡点处的雅克比矩阵为

记

由前面的推理可知λA′<0。

(7)

这里的

因为αi<λD′，所以不能直接判断λD′<0。下面证明λD′<0恒成立。

令系统(1)的第2个式子右端为0，变形得到:

对i求和，两边同除N，有:

所以可推出:

化简上式得:

(8)

由式(7)和式(8)可推出λD′<0,因此正平衡点是局部渐近稳定的。

6 数值模拟

由以上理论分析可知，当易感者、染病者的扩散率相等时, 系统只要存在正平衡点，则正平衡点一定是局部渐近稳定的,下面对无标度网络下的集合种群系统进行数值模拟，验证理论的正确性。

图1 地方病平衡点的局部稳定性Fig.1 Locally stability of endemic equilibrium

图2 扩散率对疾病流行速度以及染病人数的影响Fig.2 Impact of diffusion rate on disease prevalence and the number of infected individuals

可以看出，当系统达到疾病爆发的条件时，正平衡点是局部渐近稳定的。而且，度相对较大的节点染病人数也相对较多。

可以看出，增大扩散率，会加快疾病的流行速度，同时系统的染病率也会有轻微的增加(见图2 a))，从图2 b)可以看出，扩散率的增大，会使系统的正平衡点更快地达到平衡状态。

7 结 论

通过研究具有异质性扩散率的集合种群传染病模型，可以得出结论：一方面，交通越发达的城市，染病人数越多，疾病越容易爆发；另一方面，当系统达到疾病爆发的条件后，而且易感者、染病者的扩散率相等时, 增大扩散率能加快疾病的流行速度，促进疾病的爆发，染病人数也会增多。 因此，通过控制大城市人口出行来控制疾病的爆发也是一种有效的途径，对疾病的防控具有重要意义。

在模型中, 由于直接算出系统的雅克比矩阵在平衡点处的特征值非常困难, 所以用了估计的办法。本文还有一些不足之处, 只讨论了染病者扩散率与易感者扩散率相等时的疾病传播规律, 关于两者不相等时的情况尚在进一步的研究当中。同时, 模型中假设种群中的个体任意选择一条道路离开所在子种群的概率是相同的。 在未来的研究中, 可考虑与交通流量成比例的概率形式进行研究。

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Epidemic modeling analysis in metapopulation networks with heterogeneous diffusion rates

LI Zhengguang, LIU Maoxing

(School of Science, North University of China, Taiyuan, Shanxi 030051, China)

In order to describe the influence of individual movement in the large scale space on the spread of the disease, the propagation of infectious diseases on the heterogeneous meta population network is studied. Due to the difference of urban scale, the discrepancy of traffic conditions and so on, there is some heterogeneity in the diffusion rate. The epidemic dynamics model with heterogeneity reaction diffusion equation is established by taking the city as the node, which more accurately describes the impact of the internet structure and people's travel on the spread of disease. By analyzing the qualitative and stability of the system, it is found that there is a disease-free equilibrium, and the epidemic threshold for the instability of the disease-free equilibrium is obtained. When the epidemic threshold is reached, the system has a unique endemic equilibrium, which is always locally asymptotically stable. Finally, numerical simulations verify the correctness of the theory. Studies indicate that increasing the diffusion rates can speed up the spread of the disease. So, controlling the rate of population travel in large cities can control the outbreak of the disease to a certain extent.

epidemiology; metapopulation; heterogeneity; reaction diffusion equation; diffusion rates; stability

1008-1534(2017)06-0408-06

O175.13

A

10.7535/hbgykj.2017yx06004

2017-07-06;

2017-09-26；责任编辑：张 军

山西省自然科学基金(2015011009)；山西省回国留学人员科研资助项目(2016-086)

李争光 (1991—)，女，山东兰陵人，硕士研究生，主要从事传染病动力学方面的研究。

刘茂省副教授。E-mail：liumaoxing@126.com

李争光,刘茂省.具有异质性扩散率的传染病模型分析[J].河北工业科技,2017,34(6):408-413.

LI Zhengguang, LIU Maoxing.Epidemic modeling analysis in metapopulation networks with heterogeneous diffusion rates[J].Hebei Journal of Industrial Science and Technology,2017,34(6):408-413.