动量定理在电量综合问题中的应用

宋博

在电磁感应问题中，有一类关于动量、电量、位移等相关联的综合问题。当导体棒在安培力（变力）作用下运动时，磁通量的变化通常难以确定，此时若能灵活地运用动量定理，常先用动量定理求安培力的冲量，然后进一步求解所要求的问题。

例1 如图1所示，两根相距为L的平行光滑金属长导轨固定在同一水平面上，并处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。ab和cd两根金属细杆静止在导轨上面，与导轨一起构成矩形回路。两根细杆的质量都为m，电阻都为r，导轨的电阻忽略不计。从t=0时刻开始，两根细杆分别受到平行于导轨方向、大小均为F的拉力作用，分别向相反的方向滑动，经过时间T时，两杆同时达到最大速度，以后做匀速直线运动，求在0～T时间内通过细杆横截面的电量是多少？

解析：设杆匀速运动时最大速度为vm，则有F=F实，即F= ，又设在0～T时间内电流的平均值为i，根据动量定理有FT-BILT=mvm，则在此时间内通过细杆横截面积的电量为q=IT，解得q= - 。

例2 如图2所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为d的区域内。现有一个边长为L（L

解析：在线圈完全进入磁场这一过程中，根据动量定理有：-Blq=mv′-mv0，

当线圈完全穿过磁场后，根据动量定理有：-Blq=0-mv′，

由上面两式可解得：v′= 。

例3 如图3所示，水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），金属棒垂直框架并沿框架运动，求：

（1）金属棒从开始运动到稳定状态的过程中，通过电阻R的电量和金属棒通过的位移；

（2）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一个电容为C的电容器，求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量（假设电路不向外辐射能量）。

解析：（1）金属棒在运动过程中，水平方向只受到安培力的作用做减速运动，最终停下来，安培力的冲量等于棒的动量的变化，即棒的动量变化量是安培力在时间上的积累效应，与此过程相对应的通过电阻R的电量则是电流在时间上的积累效应。将棒的运动过程分为若干很短的时间△t，在△t时段内可认为棒中电流不变，则有：–ΣF安·△t=mv0，而F安=BIL，q=ΣI·△t，解得q= 。

设所求位移为s，则q= = ，可得s= = 。

（2）如图4所示，金属棒稳定后做匀速运动，此时电容器两端电压等于棒两端的感应电动势，即BLv=UC= ，其中v为做匀速运动时的速度，q′为电容器稳定时的带电量；同理将棒从开始运动到达稳定状态的过程中分为若干很短时段△t，在△t时段内可认为棒中电流不变，则有–ΣF安·△t=mv-mv0，即-BLΣI·△t=mv-mv0，-BLq′=mv-mv0，联立解得：q′= 。

例4 如图5所示，无限长的光滑金属导轨PQ、MN放在水平面上，导轨间距为l，竖直向下的匀强磁场穿过导轨平面，磁感應强度为B。两根长为l、质量均为m、电阻均为R的裸导线放在导轨上，初始时b棒被束缚，给a棒一个水平向右的速度v0，当a棒速度减为 时，解除对b棒的束缚，不计导轨电阻。求：

（1）解除对b棒束缚前，a棒通过的位移和棒中流过的电量；

（2）解除对棒束缚后，两棒距离减少量的最大值。

解析：（1）解除对b棒束缚前，对a棒分析并运用动量定理有：-BLq=m-mv0，解得棒中流过的电量q= 。

又因为q= = = ，解得a棒通过的位移d= 。

（2）解除对棒的束缚后，当两棒速度相同时，它们之间距离减少量为最大值，根据动量定理有：m= 2mv，则两棒的共同速度v= 。

对a棒进行分析，根据动量定理有：-Blq′=m -m ，解得q′= 。

在这一过程中，q′= = ，则两棒距离减少量的最大值为Δx= 。

（作者单位：山东省临沂第一中学）