高中数学含参数不等式恒成立、有解问题的求解策略

骆秀金

(湖南省怀化市第三中学,湖南 怀化 418000)

高中数学含参数不等式恒成立、有解问题的求解策略

骆秀金

(湖南省怀化市第三中学,湖南 怀化 418000)

本文主要结合具体实例谈谈高中数学含参数不等式恒成立与有解问题的一般求解策略.

含参不等式；恒成立；有解；解法

高中数学中含参数不等式问题，是高考的一个热点，具有较强的综合性.高考命题专家可以把高中数学中的主干知识，如不等式、函数、数列、解析几何等内容通过含参数不等式的题型将它们有机地结合起来，达到考查考生各种数学能力与数学思想的目的.在复习的过程中，引导学生进行相关的解题策略的强化训练，对提高学生的综合解题能力，培养学生数学思维的灵活性、创造性等方面都有独到的作用.

一、直接法

解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段.

分析由已知函数f(x)是抽象函数，不知其解析式，因此要根据函数f(x)的单调性去掉对应关系f，转化为自变量的大小关系求解.

二、判别式法

当一个不等式问题可转化为一元二次不等式问题时，则可考虑用判别式法求解.此类问题的一般结构如下：

一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，有f(x)gt;0(或f(x)lt;0)对x∈D恒成立或有解．可考虑①判别式的值；②对称轴的位置；③端点函数值的符号．列出不等式组求解．

例2 已知函数f(x)=x2-2mx+2,当x∈[-1,+∞)时，f(x)≥m.求实数m的取值范围.

分析不等式f(x)≥m⟺x2-2mx+2-m≥0.令g(x)=x2-2mx+2-m.结合函数y=g(x)的图象，可考虑下列三个方面：①判别式的值；②对称轴的位置；③端点函数值的符号．列出不等式组求解．

三、函数最值法

一些不等式恒成立问题或有解问题，若它能与函数联系起来，我们可以尝试将此问题转化为求函数最值问题处理．此类问题的一般结构如下：

(1)f(x)gt;0(x∈D)恒成立等价于f(x)mingt;0;f(x)lt;0(x∈D)恒成立等价于f(x)maxlt;0.

(2)f(x)gt;0(x∈D)有解等价于f(x)maxgt;0;f(x)lt;0(x∈D)有解等价于f(x)minlt;0.

例3 (2016新课标全国卷Ⅲ.理24) 已知函数f(x)=|2x-a|+a.

(1)当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x∈R时，f(x)+g(x)≥3.求a的取值范围.

分析(1)解题过程略．f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.

(2)注意到不等式f(x)+g(x)≥3中的参数a不能分离出来，可转化为求函数y=f(x)+g(x)的最小值求解．

简解当x∈R时，f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a，

所以当x∈R时，f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①

当a≤1时，①等价于1-a+a≥3，无解.

当agt;1时，①等价于a-1+a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞).

四、分离参数法

如果含参数不等式能通过变形，使参数与其他变量分布在不等式两边，可将问题转化为求未知量函数的最值问题，利用函数的最值的求法求解．此类问题的一般结构如下：

(1)g(a)gt;f(x)(x∈D)恒成立等价于g(a)gt;f(x)max;g(a)lt;f(x)(x∈D)恒成立等价于g(a)lt;f(x)min.(2)g(a)gt;f(x)(x∈D)有解等价于g(a)gt;f(x)min;g(a)lt;f(x)(x∈D)有解等价于g(a)lt;f(x)max.

例4 (2016新课标江苏卷19)已知函数f(x)=ax+bx(agt;0,bgt;0,a≠1,b≠1).

(2)略.

分析(1)不等式中的参数m很容易分离出来，故用分离参数法求解．

简解由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.

五、变换主元法

如果一个不等式含有两个未知量(一个变量，一个参数),且已知参数的取值范围，可以通过变量转换，以参数为主元，构造以该主元为自变量的函数，利用基本初等函数的性质求解．

例5 如果不等式2x-1gt;m(x2-1)对于m∈[-2,2]成立,求x的取值范围．

分析注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解．

简解原不等式等价于(1-x2)m+(2x-1)gt;0.设f(m)=(1-x2)m+(2x-1).

六、图象法

某些含参数不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用图象法求解，我们可以先把不等式(或经过变形后的不等式)两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象(特别是交点)的位置关系，从而列出关于含参数的不等式，达到求解的目的．

A. (-∞，0] B. (-∞，1]

C.[-2，1] D.[-2，0]

分析运用函数的图象变换知识画出两函数y=|f(x)|,y=ax的图象(如图)，然后比较两函数图象的位置关系求解．

简解如图，∵|f(x)|≥ax恒成立，∴函数y=|f(x)|的图象在直线y=ax的上方.

当xgt;0时，显然a≤0.

当x≤0时，直线y=ax与函数y=x2-2x的图像相切时，a=-2.故a∈[-2,0].选D.

上面介绍了含参数不等式恒成立、有解问题的几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题．

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书(必修)数学4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[责任编辑：杨惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0026-02

2017-07-01

骆秀金，男，中学高级教师，从事高中数学教学.