基于磁梯度张量的目标多测量点线性定位方法

迟 铖，任建存，吕俊伟，于振涛，宫 剑

(1.海军航空工程学院，山东 烟台 264001；2.海军潜艇学院遥感所，山东 青岛 266001)

基于磁梯度张量的目标多测量点线性定位方法

迟 铖1，任建存1，吕俊伟1，于振涛2，宫 剑1

(1.海军航空工程学院，山东烟台264001；2.海军潜艇学院遥感所，山东青岛266001)

针对目前基于磁梯度张量的目标多测量点定位方法中存在求解过程复杂且无法得到解析最优解的问题，提出了基于磁梯度张量的目标多测量点线性定位方法。该方法将磁梯度张量的三个特征值按照一定关系组合得到一个与磁偶极子方向无关的不变量，同时利用绝对值最小的特征值对应的特征向量与距离矢量垂直的几何关系，通过运动载体平台的运动测量得到三个点的磁梯度张量数据，建立关于磁性目标位置的超定方程组，通过求广义逆得到目标位置的最小二乘解。仿真实验验证表明，多测量点线性定位方法对磁性目标的定位效果较好，可以实现对磁性目标的精确定位，且磁力仪的测量精度、测量系统的基线距离和运载平台的位移测量误差是影响定位精度的主要因素。

磁梯度张量；不变量；特征向量；定位

0 引言

近几年，磁梯度张量探测[1-5]作为一种新兴的磁性目标探测技术而受到广泛的关注，其在矿藏的勘探、UXO(Unexploded Ordnance)的定位等领域都有重要的应用价值。磁梯度张量是磁场三分量沿着空间三个方向的变化率，具有受目标磁化方向影响小的良好性质，并且可以有效的克服地磁场的干扰，提高目标的定位精度。

目前基于磁梯度张量的磁性目标定位方法可以分为单测量点定位方法和多测量点定位方法两大类。2006年，Nara等[1]提出了单测量点磁梯度张量的线性反演定位算法，该定位算法利用单测量点的磁梯度张量和磁场矢量信息进行定位，可以实现对目标的单点实时定位，但是该定位算法中利用了磁场矢量的信息，不可避免地会受到地磁场的影响，进而对定位结果带来较大误差。张朝阳等[2]采用平面磁梯度张量系统对单测量点磁梯度张量的线性反演定位算法进行了仿真验证。与此同时基于单测量点磁梯度张量特征值和特征向量的定位方法[3-7]也得到了深入的研究，但是该方法在计算得到目标位置的同时也得到了三个虚假解，存在无法确定唯一解的问题，因此要借助其他信息对三个虚假解进行去除。针对单测量点磁梯度张量定位方法中存在受到地磁场干扰以及单测量点无法确定唯一解的问题，多名学者提出了基于磁梯度张量的多测量点定位方法。于振涛等[8]提出了一种基于正六面体磁梯度张量系统的磁梯度张量差分定位方法，文献[9-11]提出了一种基于正六面体磁梯度张量系统的不变量梯度定位方法，正六面体磁梯度张量系统可以同时测量正六面体六个平面中心点处的磁梯度张量数据，因此上述方法本质上是通过测量空间中多个测量点的磁梯度张量数据对目标进行定位。张光等[12]提出了载体平台平动条件下的多点磁梯度张量定位方法，该方法通过运动载体平台平动得到两个点的磁梯度张量测量数据，结合平台平动的运动参数，求取目标的位置，但是该方法需要求解非线性方程组，并且只能通过数值解法得到目标位置的近似解。本文针对此问题，提出了基于磁梯度张量的多测量点线性定位方法。

1 现有的磁梯度张量定位方法

距离测量系统较远处的磁性目标可以视为一个磁偶极子，磁偶极子模型表示如下：

(1)

式中，m为磁性目标的磁矩，r为磁性目标到测量点的距离矢量，μ为磁导率，在空气中μ≈4π×10-7Tm/A。

磁梯度张量是磁场三分量在空间的变化率，共有9个分量，表达式为：

G=

(2)

其中，磁梯度张量的各个分量的表达式为：

(3)

式中，下标i,j代表笛卡尔坐标系下的三个分量，当i=j时，δij=1，当i≠j时，δij=0。由式(3)可得磁梯度张量G具有对称性，且主对角线上的三个分量和为零，因此9个分量中只有5个是独立的。

常见的磁梯度张量系统根据结构组成可以分为十字形结构、正方形结构、三角形结构、正四面体结构、正六面体结构等，文献[13]对不同结构组成的系统进行仿真计算得到十字形结构系统测量结果最精确、结构最优，因此本文中选择十字形结构系统对磁性目标进行定位，十字形磁梯度张量系统由四个磁通门磁力仪组成，系统的结构如图1所示。

根据差分方程，通过不同磁力仪的测量值可以求得中心点处的磁梯度张量值

(4)

式中，B1x代表标号为1的磁力仪测量的x轴分量，d为系统的基线，即同一坐标轴方向上的两个磁力仪之间的距离，⊗代表的分量可由磁梯度张量自身的对称性求得。

Nara等[1]提出的单测量点磁梯度张量的线性反演定位算法如下式所示：

r=(x,y,z)T=-3G-1(Bx,By,Bz)T

(5)

由式(5)可得，通过测量磁性目标的磁梯度张量和磁场三分量即可实现对目标的单测量点线性反演定位，而在实际的测量中，测量结果不可避免地会受到地磁场的影响，地磁场的梯度较小，一般小于0.02 nT/m，而地磁场的总强度在30 000～70 000 nT之间，较小的估计误差就会对目标的定位带来较大的误差。因此，文献[8,12]分别提出了多测量点定位方法，但是现有的基于磁梯度张量的多测量点定位方法需要求解非线性方程组，存在求解过程复杂、无法得到解析最优解的问题。针对上述问题，本文通过研究磁梯度张量特征值的特性，得到一个与磁偶极子方向无关的不变量，同时分析特征向量与距离矢量之间的几何关系，得出绝对值最小的特征值对应的特征向量与距离矢量相垂直的几何关系，最后利用上述性质建立超定方程组实现对磁性目标的定位。

2 基于磁梯度张量的多测量点线性定位方法

2.1 特征值和特征向量的特性分析

磁梯度张量不变量是对磁梯度张量进行一定的运算得到一些不随坐标转换而变化的标量，常见的不变量有磁梯度张量的迹、模、特征值等。Clark在文献[5]中定义了一个不变量，表达式如下：

(6)

式中，λ1、λ2、λ3分别为磁梯度张量的三个特征值，且满足λ1≥λ2≥λ3。为了分析该不变量的性质，同时分析特征向量与距离矢量之间的几何关系，建立如图2所示的坐标系。

设磁性目标的磁矩位于xoy平面内，目标的磁矩为m=(mcosθ,msinθ,0)T，目标到测量系统的距离矢量r=(r,0,0)T。根据式(3)，依次求得磁梯度张量的各个分量的值为

(7)

求解式(7)中磁梯度张量的三个特征值按从大到小顺序依次排列如下所示：

(8)

将式(8)中的特征值带入到式(6)可得，不变量υ与目标距离的平方成反比，具有与磁偶极子方向无关的性质。同时求得式(7)中磁梯度张量的三个特征值对应的特征向量分别为：

(9)

由式(9)可得，绝对值最小的特征值λ2对应的特征向量u2垂直于m、r矢量所在的平面，特征值λ1、λ3对应的特征向量与m、r矢量所在平面共面。

2.2 多测量点线性定位方法

假设磁性目标位于坐标(x0,y0,z0)位置处，在磁梯度张量系统连续的测量点(xi,yi,zi)处，不变量υi可以表示为：

(10)

(xi-x0)bix+(yi-y0)biy+(zi-z0)biz=0

(11)

由于需要求解的未知数有x0、y0、z0、m共四个，因此通过连续两个测量点的数据便可列出四个方程，即可实现对目标的位置坐标的求解，但是实际定位过程中存在测量噪声等因素可能会出现无解或者误差较大的情况，同时为了建立关于目标位置坐标的线性方程组，本文通过测量三个点的磁梯度张量数据，建立超定方程组，给出了目标位置的最小二乘算法。根据十字形磁梯度张量系统连续三点的测量数据，令：

则可以列出关于目标位置坐标的线性方程组

MX=V

(12)

则该线性方程组可以通过对矩阵M求广义逆给出关于目标位置坐标的最小二乘解：

X=(MTM)-1MTV

(13)

3 仿真实验

由仿真结果可得，本文提出的多测量点线性定位方法的定位效果优于Nara提出的定位方法，原因主要为本文提出的定位方法利用磁梯度张量的特征值和特征向量信息对目标进行定位，不需要利用地磁场的估计值，因此该方法可以克服地磁场的干扰。由图4可得，多测量点线性定位方法对磁性目标有较高的定位精度，随着平台与磁性目标之间的距离减小，定位误差不断减小，在t=1 s时，平台距离磁性目标81 m，多测量点线性定位方法对目标的定位误差为0.55 m，定位相对误差0.7%，可以实现对磁性目标的精确定位。

分析影响磁性目标定位误差的因素可能有：1)磁力仪的测量精度；2)测量系统基线的大小；3)运载平台的位移测量误差。

1)磁力仪的测量精度与定位误差的关系

仿真分析在不同的磁力仪精度下，多测量点线性定位方法对磁性目标的定位误差，磁力仪的精度分别取为0.1 nT、0.01 nT、0.001 nT，仿真实验结果如图5所示。

由仿真结果可得，随着运动载体平台与磁性目标之间的距离减小，不同精度的磁力仪的定位误差都减小，但是磁力仪精度越高，磁性目标的定位误差越小，在t=1 s时，精度为0.1 nT的磁力仪就会出现较大的定位误差，此时的定位误差大于4 m，而精度为0.001 nT的磁力仪的定位误差一直较小，在t=1 s时定位误差小于0.5 m。

2)测量系统基线的大小与定位误差的关系

仿真分析当十字形磁梯度张量系统的基线分别取为0.2 m、0.5 m、0.9 m时，多测量点线性定位方法对磁性目标的定位误差，仿真实验结果如图6所示。

由仿真结果可得，测量系统基线距离越大，磁性目标的定位误差相对越小。当基线距离一定时，随着运动载体平台距磁性目标的距离减小，定位误差不断减小。

3)运载平台的位移测量误差与定位误差的关系

仿真分析当运载平台的位移测量误差的大小分别为0.1 m、0.3 m、0.5 m时，多测量点线性定位方法对磁性目标的定位误差，仿真实验结果如图7所示。

由仿真结果可得，随着运动载体平台与磁性目标之间的距离减小，磁性目标的定位误差先减小随后在一定范围内波动，且运载平台的位移测量误差越大，磁性目标的定位误差相对越大。

4 结论

本文提出了基于磁梯度张量的多测量点线性定位方法，该方法可以克服目前基于磁梯度张量多测量点定位方法中求解过程复杂、无法得到解析最优解的问题。仿真实验验证表明，多测量点线性定位方法对磁性目标的定位效果较好，可以实现对磁性目标的精确定位，且磁力仪的测量精度、测量系统的基线距离和运载平台的位移测量误差是影响定位精度的主要因素。多测量点线性定位方法可以搭载于运动载体平台上实现对静止磁性目标的定位，不足之处在于对运动目标不能实现定位，在下一步的工作中应该研究运动目标的定位方法。

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LinearLocalizationMethodBasedonMagneticGradientTensorofMulti-points

CHI Cheng1，REN Jiancun1，LÜ Junwei1，YU Zhentao2，GONG Jian1

(1.Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China; 2.Institute of Remote Sensing, Naval Submarine Academy, Qingdao 266001, China)

Aiming at the problem that localization method of target based on the magnetic gradient tensor of multi-points is characterized by nonlinear equations whose optimal analytical solution cannot be obtained, linear localization method based on the magnetic gradient tensor of multi-points was proposed in this paper. Firstly, an useful rotational invariant was introduced, the invariant could be calculated from eigenvalues of magnetic gradient tensor, which was independent of the magnetization direction; Then the property of eigenvectors was deduced in this paper, and we came up with the conclusion that the eigenvector corresponding to the eigenvalue which had the smallest absolute value was perpendicular to the source-sensor displacement vector, according to property shown above, location of the magnetic target could be calculated by solving linear equations of magnetic gradient tensor measured at three points. Results of the simulations showed that the proposed method was effective in magnetic target localization, magnetometer precision, baseline of magnetic gradient tensor system and displacement measurement error of platform were main factors affecting the location error of magnetic target.

magnetic gradient tensor; invariant; eigenvector; localization

2017-03-25

国家863高技术研究发展计划项目资助(2015AA0922)

迟铖(1989—)，男，山东日照人，博士研究生，研究方向：磁性目标探测。E-mail:Cheng.chihhu@163.com。

U666.1

A

1008-1194(2017)05-0058-05