注重知识衔接，深入专题研讨

王琪

[摘 要] 近几年的高考数学中，以直线与圆的位置关系为载体的考题出现频次很高，该内容既包含了圆的相关性质，也结合了解析几何的分析方法，如何使学生学好直线与圆位置关系的性质与判定，为教师提出了更高要求. 笔者根据教学经验，结合学情制定了相关的教学设计，以供教学参考.

[关键词] 直线与圆；位置；整体性；教材

“直线与圆的位置关系”是高中重要的内容，不仅可以解决直线与圆的相关题目还是研究解析几何问题的基础. 该内容建立在初中相关知识的基础之上，开展教学要注意对初中知识的回顾和延伸，结合典型例题开展拓展延伸，充分挖掘学生潜能，发展数学思维.

教学流程

1. 情境创设，开课引入

预设意图：通过实际问题引入直线与圆的位置关系，可以激发学生的学习兴趣，同时说明研究直线与圆的位置关系具有现实意义，提高学生的重视程度.

2. 重溫旧知，学习预热

预设问题1：在初中平面几何中，直线与圆存在哪几种位置关系？

预设问题2：在初中阶段是如何判断直线与圆的位置关系的？

预设意图：学生非常熟悉初中的知识，通过回顾初中的旧知让学生充满自信，用熟悉的方法解决高中的知识，完满结合数形，使课堂教学顺利开展.

3. 问题提出，自主探究

问题：已知直线l：4x+3y=40和圆心在C的圆x2+y2=100，试判断直线l与圆的位置关系. 若相交，求交点坐标.

设问：判断直线与圆的位置关系有哪些方法？类比初中的知识，归纳总结解题思路.

总结：有两种方法，几何法：首先确定圆心坐标和半径r，然后计算圆心到直线的距离d，通过比较r与d的大小关系，确定它们的位置关系；代数法：求解直线与圆的交点个数，将直线方程带入圆的方程中可得一元二次方程，分析Δ的大小，Δ>0，即有两解可得两个交点，则直线与圆相交；Δ=0，有一个交点，则直线与圆相切；Δ<0，直线与圆没有交点，则相离.

设计意图：以渐进式问题引导学生探究学习，让学生参与到讨论中，这样的设计充分体现了知识形成发展的过程，使学生自己构建判断直线与圆位置关系的方法，对比学习后加深理解，为学生以后的自主学习打下基础.

4. 典例讲评，拓展变式

例题：现已知△ABC的三个顶点分别为A（-1，0），B（1，0），C（3，2），它的外接圆为⊙H.

（1）如果直线l经过了点C，且被⊙H截得的弦长为2，求l的具体方程；

（2）在线段BH上有任意一点P，如果以C为圆心的圆上存在不同的两点M，N，使得点M位于线段PN的中点，求⊙C半径r的取值范围.

（2）如图2所示，点P位于线段BH上，设P（m，3-3m）（0≤m≤1），经过点C作CE⊥MN，垂足为E，则E就为MN的中点，又因M就为PN的中点，则有PE=3EN. 假设CE=d（0≤d

设计意图：教学不能局限于知识讲授，学以致用是最终目的，因此开展典例讲评是十分必要的，充分挖掘例题中的精髓，可以有效地加深学生对知识的理解，通过让学生在问题中思考，可以极大地提升学习效率.

5. 变式拓展，高考衔接

（2014年江苏高考卷）如图3所示，为保护河上的一座古桥，规划建设一座新桥BC，同时设置了一个圆形的保护区，要求为：新桥BC要与河岸AB相垂直；现已知保护区的边界是圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，古桥两端O和A到圆上任意一点的距离都不少于80 m，经过测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位

（1）求新桥BC的长度；

（2）当OM为多少时，圆形保护区的面积达到最大？

教学立意的深入探究

1. 抓住中学标准，透析数学教材

用几何的代数方法研究几何的本质性质，充分体现了数形结合的数学思想，高中数学教学标准中要求教师要将几何问题转换为代数问题，用数形结合的思想解决问题.教材是实现教学目标、实施教学的重要依托，因此需要教师充分研读教材，掌握教材的编写体系以及知识结构，合理地编写教学设计.本课题依托教材开展典例讲评与合作探究，把握适度原则，实现了知识的自然过渡，层层递进，环环相扣，有着良好的教学效果.

2. 开展探究教学，促进思维发展

现代中学的教学理念要求课堂教学要注重探究过程，充分使学生参与到教学活动中，因此教师要充分把握学情，利用教学资源对学生进行指导性教育. 知识的讲授是建立在学生的认知结构上的，要将更多的时间交给学生，充分使学生在探究思考、活动交流中展现自我，养成自我发现、发展、获取、感悟的思维习惯，开发学生的学习潜能.本课的开展利用了学生的旧知，从已有知识进行延伸，符合学生的认知过程，以问题的形式激发学生的学习兴趣，讨论交流中促进思维发展，推进教学进程，将自主学习与合作交流巧妙地融合在一起，实现了教学效率的最大化.

3. 注重知识衔接，把握数学整体性

中学学习的过程是在原有知识基础上的延伸，高中的知识点很多，包括函数、几何、方程等，但这些知识的学习都是建立在初中数学的基础上. 学生的认知能力是有限的，因此教学在课堂开展之前必须充分熟悉初中教材，沿用扩展初中知识的教法，做好知识点的衔接过渡.数学是整体性的，整体性既体现在内容上也反映在数学思想上，只有把握数学整体性，才能制定合理的教学目标，把握知识的来龙去脉，学习数学的知识本质，本课探究直线与圆的位置关系，正是对知识衔接与数学整体性的诠释.

结束语

直线与圆的问题看似简单，却包含着众多经典问题，教师在教学中要充分研读教材，把握学情，在学生原有知识体系上开展教学拓展，同时要优选例题，结合典型例题开展教学讨论，通过合作交流的方式使学生获得知识和能力的提升.