“圆”来是如此

李海洋

摘 要：素质教育下的数学教学，强调学生的主体性地位，提倡“经历”数学，获得数学的“经验”。相对于传统的填充式教学，现代教育的中考数学方向，突出数学知识作为一种“经验型模型”的技能应用，激发学生的创新性思路，培优学生的发散性思维。植根于课本，基础的几何模型建构成为“压轴题”的解决关键，借助于现代多媒体技术的“翅膀”，高屋建瓴，化繁为简。

关键词：中考数学 创新培优 模型建构

“圆”的知识点作为中考必考内容，往往令考生产生“难题”、“怪题”的解题心理阴影。其实归根到底是圆的知识点掌握仅仅停留于课本所给的基本知识点的“表象”，缺乏依赖于课本，深挖课本中圆的知识点，系统化建构圆的基本几何模型。近些年中考“淡化”了一些与圆相关的性质定理，如“切线长定理”、“切割线定理”、“弦切角”等。新课程标准的实施理念指出数学教学要兼顾基础性和创新性。深入钻研历年中考数学试卷以及参与专业培训后发现，数学选题的分层，以创新培优为导向，注重素质化教育教学的同时，培养学生的发散创新思维， “淡化”转变成一种更高层次的创新思维的要求，对教师的教育教学和学生的学习指明了方向。

由一道简约而不简单的题感受数学模型的巧妙。

观察图（1），关联等腰直角三角形其边角性质，深挖教材。人教版数学教材八年级上第十二章，提到了三种全等的模型“平移”、“翻折”、“旋转”。结合等腰直角三角形解题的常用技巧，构造三角形“旋转”。如图（2）， 将△OBC顺时针旋转90°至△ABO'处，由“旋转即全等”易知OC=AO'，△OO'B也是等腰Rt△，由A点运动路线和AO O'边的性质可知OA+O'A≥OO'，即O'A≥OO'-OA=-3。似乎圆成了一种摆设。果真如此吗？ 题目演变如下：如图（3），

从圆的知识入手，半圆（直径）所对的圆周角是直角，尝试构造Rt△ABD，此时△ACD中，定角∠ACD=120°，定长AD=2R=6，“定角定弦定圆”模型得以应用。简解：辅助线如图（4），∠ACD=120°，圆O'中优弧的度数240°，从而有∠A O'O=60°，易知Rt△OO'A中，O'A=O'C=2OO'=2，在△OO'C中，OC ≥O'C-OO'=2-=。至此，“圆”来如此，这两题是圆的建构模型之“定角定弦”。

深挖教材，明确考向，建构模型

把握教材中圆的系统化教学过程，总结整体框架结构，形成思维导图。初中的平面几何图形源于生活中简单的物体抽象而得，研究基本几何图形主要从“点”、“边”、“角”三个方面，其表现形式是概念、算法、性质定理。基于理论，圆的教学中如何建构数学模型？

1、运用现代化多媒体教学设备，贯穿于圆的知识点教学中，渗透数学模型的思想，让学生感受感知数学模型。如锥体的侧面积的展开演示联想到扇形，而扇形是圆的一部分，建立求锥体的侧面积的数学思路，进而拓展。“化曲面为平面”的数学思想，也就能很轻松的解决“蚂蚁绕圆柱”问题。

2、基于课本性质定理，深化提高，构建圆的基本几何模型。圆的基本性质知：同弧（同弦）所对的圆周角是圆心角的一半。构建“三点共圆模型”。

如图（5） ，这题是改编于某压轴题。 简证如下：易知优角∠CDE=2∠CBE且DC=DE，所以B、C、E是以D为圆心“三点共圆”，从而为定值不变。再次体会到“圆”来如此！

3、广阅资料，博采众长，总结建立数学模型专题。信息化时代的到来，给资源的传递和共享带来了极大的方便，结合教学过程练习，建立圆的数学模型专题题库，如隐圆专题、圆与最值问题、点的共圆等。

三、数学模型的建构在中学数学教学中的作用

1、数学模型建构是数学教学中的思维精華，体现数学知识的本质联系。数学模型的建构基于具体的一般性知识，将“一般化”的数学问题通过思维的分析判断、推理类比、归纳总结，具有高效性、简洁性、典型性的特点，更加体现知识的本质。数学教材中，无不渗透着模型思想，旋转模型、翻折模型，“8”字型，“K”字型，“隐圆”模型等

2、圆的数学模型的建立和应用有效提高章节教育教学质量。

数学模型的建立是数学再创造后的知识精华，使学生不再停留于数学概念的“表象”，而是更加精确全面的了解知识的本质，精简课堂过程，提高学生的认知水平。在教学中，对于学习困难的学生帮助非常明显。在培优教学中，提供了高层面的依据和指导。

3、顺应中考方向，培养和提高创新性思维能力。

通过数学模型化思维的建立的过程中，充分发挥学生的主体能动性，培养学生的思维发散性，观察推理的逻辑性，合理建构数学模型，顺应中考数学。

参考文献：

[1] 《教育综合知识》 山香教师招聘考试命题研究中心，首都师范大学出版社

[2] 《 义务教育数学课程标准（2011年版）》，北京师范大学出版社

[3] 《中考数学16讲》 于新华，浙江大学出版社