适时驻足，数学思维能力培养的一种需要

江苏扬州市开发区花园小学 徐国明

适时驻足，数学思维能力培养的一种需要

江苏扬州市开发区花园小学 徐国明

思维是学生数学核心素养中的重要内容，数学教学的核心目标是培养学生的思维能力。培养学生思维能力需要教师懂得在教学中给学生留有适当的时间与空间，在知识的留白处、知识的困惑处、知识的断层处、知识的延展处驻足，让学生潜心体验，沉思默想。这样，学生思维才会向纵深跃进，其思维能力的培养，才能真正成为现实。

数学课堂 思维能力 适时驻足

杜威认为：“学习就是要学会思维，形成清醒的、细心的、透明的思维习惯。”自提出“核心素养”以来，学生的思维发展在数学教学中的重要地位有了进一步凸显。思维是学生数学核心素养之一，它与知识、情感共同组成学生数学核心素养的统一体，这些素养都要依靠在教学环境中慢慢濡化，是一个渐进和涵养的过程。其中，思维能力及习惯的培养需要教师在课堂教学中懂得适时驻足，因为，仓促匆忙的课堂不可能培养卓越而精细的思考，也难以形成“清醒的、细心的、透明的思维习惯”。只有适时驻足的课堂，学生才有时间和空间去进行无限的遐想与深思、深度的体验与探索，这样，他们的思维才能向纵深跃进，其课堂才会呈现出与众不同的细节，才会创造出异样的特质。

一、在知识的留白处驻足，让思维沉潜

我们在审视教材的时候会发现，教材中有不少的数学信息是凝结在知识背后的，这些信息学生往往不易发现，如果教师不能引领学生敏锐而准确地去挖掘这些信息，窥探其背后的意图，那么，学生数学学习的关注点就只能停留在知识的表层。因此在教学中，我们首先要了解教学素材的本质内涵和背景，然后在引导学生理解和把握显性知识的同时，还要深入挖掘其背后的隐性知识，帮助学生积累基础活动经验，渗透数学基本思想及思维方法，从而为学生掌握更多的知识提供智慧支持。

如苏教版数学三年级上册p46“周长是多少”这部分内容中，编排了这样一道题：“你能在方格纸上画出周长是20厘米的长方形或正方形吗？能画出不同的长方形吗？”我是这样来安排教学的：

师：请同学们先独立画一画，看你能画出几种？等会儿汇报交流。

（一段时间过后）

生：我画出了3种。

师：还有更多种的吗？

生：我画出了5种。

师：你是怎么思考的？你有什么好的方法想和大家分享吗？

生：我先用20÷2=10，得到长与宽的和，然后再看哪两个数字相加等于10， 于是得到1+9、2+8、3+7、4+5、5+5这五种画法。

师：这方法真好！下面请大家用这种方法想一想，如果要画周长是16厘米的长方形或正方形有多少种画法呢？（学生很快得出4种）

师：如果画周长是24厘米呢？（学生很快得出6种）

师：请大家仔细观察、比较、思考，你发现画的种数与周长之间有什么关系吗？

生：我发现只要用周长除以4就可得出有多少种画法。

师：（佯装不知）是吗？

（刚刚没有发现的学生也用此方法加以验证，发现果真如此，一时都表现出了兴奋）

师：现在如果让你说出“画周长18cm的长方形,有几种画法？”你能用刚才的方法求出来吗？（学生对刚才的方法产生了疑惑）

师：大家有什么问题要提吗？

生：我发现18除以4除不尽，有余数。（其余学生也这样认为，这引发了学生的认知冲突，激发学生探究欲望。）

师：现在请大家用刚才列举的方法求出有多少种。

生：我发现有4种不同画法。

师：再用周长除以4的方法看看呢？

生：我发现种数还是与得出的商相同。

师：请你自己再列举出一些周长除以4除不尽的例子进一步验证，看你发现了什么？

（学生饶有兴趣地列举了周长是14厘米、22厘米等）

最终发现：求画的种数，都可以用周长除以4，商是多少就有多少种画法，与余数没有关系。

在教学这一内容时，我以教材为依托，不止于教材，也不局限于教材，创新组织教学，将教材中编制的习题视为帮助与指导学生发展的有力工具，视为师生交互作用、共同创造的园地，以此不断创设探索再探索、认识再认识的情境，引领学生积极主动地思维，让他们在“尝试—观察—猜想—验证”中发现了蕴含其中的规律。这样，有效地促进了学生探究问题的意识和欲望，也让学生感悟到了数学的本质和价值，感悟到了要想获得普遍规律，就需要培养自己深入而又全面地考虑问题的思维品质，从而实现了最优化发展学生的目标。

二、在知识的困惑处驻足，让思维敞亮

教学过程是境域的、多元的和不确定的，比如：在师生互动中常会出现学生的一些“真知灼见”，有的甚至“怪异”，与教师预设及事实情况相左或是教师预想之外的学习生成。这时，我们不妨驻足于此，尽可能地解决学生所遭遇的问题。其间，教师可让学生通过数学活动或数学语言的沟通交流，来暴露他们真实的思维过程，让他们的真知灼见在交流的过程中绽放。特别是对其中出现的有些错误，不妨作为一种资源，有时可牵而带之，引而不发，促进学生自我反省和观念冲突；有时可让学生之间通过思维碰撞，巧妙修正，辨析错误。这样可以改造学生已有的疏漏经验，加深学生对知识的理解和掌握，完善自己的知识结构。

比如，我们在执教《乘法分配律》这一内容时，往往是先直接向学生讲授什么是乘法分配律，如何用字母表示，然后便给学生提供模仿与记忆的同类题目进行巩固练习，让学生达到熟练掌握的程度。可是，有一位老师在讲《乘法分配律》时，却是这样设计的：课堂上教者首先通过对“（a+b）×c”与“a×c+b×c”两种算式进行分类与比较，再用翻转卡片上的算式等形式，促进学生用左式推出右式。这时，有学生提出：“老师，把（a+b）×c中，括号里的加号，换成减号、乘号、除号是不是也可以这样分配呢？”面对这样的质疑，教师没有急于告知，而是抓住了即时生成的教学资源，将引导置于学生的思维路径中，先列出式子让学生猜想。

猜想一：（a-b）×c=a×c-b×c？

猜想二：（a÷b）c=a×c÷b×c？

猜想三：（a×b）×c=a×c×b×c？

猜想四：（a+b+c）×d=？

之后，让学生通过举例验证，讨论交流发现“（a-b）×c=a×c-b×c”与“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”这两个等式是成立的，而“（a÷b）×c=a×c÷b×c”与“（a×b）×c=a×c×b×c”这两个式子是不成立的。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“学习过程必须含有再创造的侧面，通过再创造获得的知识和能力要比被动方式获得的会理解得更好，也更容易保持。”在这一教学过程中，学生通过质疑对知识进行了再创造，其中，对于学生提出的错误思维，教师没有绕开，也没有强行否定或者想方设法急于牵引，而是根据学生提出的疑问，罗列出了四种猜想，向学生提供了“全景立场”，即不同的观点，意在让学生通过对比、比较，形成自己的判断，发展自己的理性。最终，学生通过激烈的讨论和运用具体数字加以验证等办法解析生成了数学模型，获得对知识对象的深刻认识，对乘法分配律的本质理解更加清晰、通透了。其教学设计顺应了学生的思维发展，培养了学生结构化的思维方式。与此同时，又发展了“批判性思维”“理性”和“创新能力”等核心素养。

三、在知识的断层处驻足，让思维激活

教材中的数学知识往往都是遵循“前有孕伏，中有突破，后有发展”的原则进行编排的，很多知识是根据一定的逻辑,把基本概念、基本原理、基本方法连接起来，构成一个完整的知识体系。学生在学习一个具有完整体系的新知时，一开始，由于知识经验缺乏，知识学习还不系统，知识框架还不完善，所以，即便知识不断向前推进，但学生往往还是习惯之前的思维方式和学习方法，很难适应新的分析、归纳等能力的要求，这样就容易出现知识的断层，在知识的断层处学生会产生迷茫与困惑。这时就需要一切教学方法和手段都必须顺应学生认知结构的发展规律,使用“搭脚手架式”的方法来帮助学生消除能力与知识的断层现象，整体地建构知识，促进学生理解。

例如，对苏教版数学五年级下册“分数意义”这部分内容有一位教师是这样来设计教学的：

师：你对分数已经了解了一些什么？（让学生默想片刻）

师：请你自己表述这幅图的涂色部分。

生1：这幅图的涂色部分用1表示。

师：（师故作疑惑）唉——，涂色部分明明是一个圆，为什么用表示呢？

生：我们也可以把4个圆看成一个整体，平均分成4份，其中的一份就是这个圆的。

师：你是怎么表示的？这三幅图在表示的时候有什么地方相同？

学生归纳：把一些物体看作一个整体，把它平均分成4份，其中的1份就表示这个整体的。

生：因为它们虽然分的份数一样，但是这个整体的个数不一样，所以几个表示的个数也就不一样。

师：你认为还可以表示更多的个数吗？你是如何想的？

生：我发现还可以表示更多的个数，只要整体个数是4的倍数就可以了。

师：（故作迟疑）唉，这个整体的个数可以更少吗？可以比1少吗？

生：半个物体也可以，只要是平均分成4份，其中的1份就是半个的。

师追问：0.2千克的你会表示吗？

师：哇！原来如此神奇！究竟表示什么意义呢？

学生归纳总结。

……

在这一知识的教学中，教师准确地捕捉到了学生知识理解的断层，那就是从理解一个物体的是个，走向一个整体的可以是1个、2个、3个、4个、个、个……在知识的断层处，教师给了学生充分研学的时间，让他们在思维锤炼中发生、加深、延伸。为了使学生自主获取分数概念的深度构建，在整体视野下认识知识的本质联系和结构，故教师将知识问题化、问题层次化，用问题驱动教学。通过适时的追问、质疑、点拨，使学生在个性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解释运用中，积累了丰满的直观表象，然后，引导学生一步一步从直观理解走向对分数概念本质的理解，提高了他们的学习与思辨能力。

四、在知识的延展处驻足，让思维发散

教学中，新知讲授结束，并不表示学生所有的相关认知都已经解决，有时还会生发出新观点，产生新的认知冲突，而新的观点，新的认知冲突，又会生长新的思维，拓展新的知识，迸发出新的问题，催生学生对新知疑问的化解，促使学生对问题解决方法的探寻，进而赋予数学知识以生长的力量。

比如，我在教学苏教版四年级下册“运算律”时是这样设计的：

教师出示：6+5=5+6

师：口算等号两边的结果，你发现什么？

生：等号两边都等于11。

师：观察等号两边的算式，你有什么问题想问吗？

生：我想问：“是不是在加法中，交换两个加数的位置和都不会变？”

师：这名同学通过一个例子非常好地提出了自己的猜想，那么，怎么进一步验证这个猜想？

生：可以再举例验证。

师：好方法！下面自己列举一些例子来验证。

生1：12+15=15+12，我发现等号两边的结果是相等，所以交换12和15的位置和不变。

生2：13+14=14+13，我也发现等号两边的结果是相等的，所以交换13和14的位置和不变。

……

师：看来，“在加法里，交换两个加数的位置和不变”这个猜想是对的。我们把这一结论叫作“加法交换律”。

师：刚才我们是通过一个特例，得到一个猜想，通过验证猜想得到加法交换律。其实，许多数学结论还可以由一个结论通过联想得出新的猜想，再通过验证而得出。

师：由“加法交换律”，你能联想到什么新的猜想？

生：加法有交换律，那么减法里有交换律吗？乘法、除法呢？

（学生又把这些联想作为新的猜想，通过验证得出乘法里有交换律，而减法、除法里没有交换律）

师：由“在加法里，交换两个加数的位置和不变”，你还能联想到什么？

生：在加法里，交换三个加数、四个加数、多个加数的位置，和也不变吗？

（接下来学生将其作为新的猜想加以验证，又获得了新的数学结论）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。鉴于此，我在这一教学过程中，并没有止步于对加法交换律的教学，而是不断引导学生提出 “联想”性问题，让知识得到了延展。随着知识的延展，使知识显现出了一种结构，数学教学应该帮助学生建立融会贯通的数学认知结构，这才是我们数学教学的归宿。同时，随着知识的延展，伴随着学生思维的参与，他们的经验有了创造性的生长。由一个特例得到猜想，到得出数学结论；再由新的数学结论引出新的联想，生成新的猜想，得到新的数学结论。这样，学生不但掌握了加法交换律和乘法交换律，而且随着数学本身结构的自然生长，学生获得了结构化的思维方式，感悟到了贯穿其中的数学思想方法。此外，通过思辨他们又获得了知识的辩证思考，对思维全面性和深刻性的丰富体验，让他们获得了数学的真理感。就这样，让他们在课堂上建构起了完满而深刻的数学意义。

综上，数学课堂教师要懂得适时驻足，这是培养学生思维能力的需要。只有适时驻足，学生的思维才能得以沉潜、敞亮、激活、发散，他们才会逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，进而由“理性思维”逐步走向“理性精神”。当然，这需要教师有一种智慧，这种智慧表现在对教材的深度研读，表现在全面了解学生对所教知识的期许，表现在对学生在数学学习中思维活动的深入了解和科学分析，在此基础上留出适当的时间与空间让学生去想、去说、去做，以便充分理解和内化新知，以便个体化知识的慢慢积累与慢慢生长，以便学生的思维向纵深漫溯。♪