微积分在力学中的应用

摘 要：微积分在大学物理特别是力学中有着极其广泛的应用。用微积分方法解决力学问题，是力学教学的重难点。本文通过阐述力学中不同的物理量及公式推导过程所体现的微积分思想，可以很好地分析和处理力学问题，帮助学生理解微积分的重要作用及思想本质，使得学生熟练应用微积分解决力学问题，有效提高学习质量。

关键词：微积分；力学；应用；学习质量

力学是大学物理的重要教学内容，在物理课程设置中占据基础地位。物理课程的开设，能够使学生系统地学习力学的基础理论知识，为后续课程学习奠定良好的基础，同时有助于培养学生的科学思维和创作性思维，形成正确分析及解决物理问题的能力及提升物理学科的课堂教学效果，对将来从事的科学研究学习也有很好地促进作用。

一、微积分思想的重要性

力学所研究的物理量，有些不是稳恒量和离散量，而是变量和连续量，如变力做的总功，变速运动的瞬时速度等，所讨论的问题更加复杂、实际。因此，在教学过程中，教师应积极指导学生建立微积分思想，将微积分思想与力学变量问题结合起来，进一步加深学生对微积分在力学中应用的理解。

二、微积分在力学教学中的应用

微积分思想就是“微元法”和“无限逼近”。通过对复杂的物理变量无限分割成多个微元，则局域范围无限变小，近似处理也越精确，则理论上可认为这限小的量为常量，这个即为微分；对所有无限多个微分的研究结果累积求和，即为积分，由此可得所求的那个变量，这就是微积分的思想本质。

（一）速度及加速度问题

例1：某质点运动方程为[rt=xti+ytj=3ti+3-t3j]，计算质点在任一时刻的速度[v]和加速度[a]。

方法：由运动方程可知该质点做变速运动，利用微积分思想，速度时刻改变，求解瞬时速度，可把运动分成很多个时间很短的微运动，在每个很短的时间间隔内，可认为做匀速运动，即[?t→0]，平均速度的极限值为瞬时速度[v]：[v=lim?t→0?r?t=drdt=3i-3t2j]。

同理，可得加速度[a]：[a=lim?t→0?v?t=dvdt=-6tj]。

例2：如图1所示，有人以匀速率[v0]收绳，使得湖中的船往岸边运动，求小船的速度（结果用[v0和θ]表示）。

步骤：设小船的速度为[v]，设图中绳的长度为[l]，岸边的高度为[h]，船离岸边的距离[x]，则：[l2=x2+h2]。

两边同时求导得：[ldldt=xdxdt]。

由此可得小船的速度：[v=-dxdt=-lxdldt=lxv0=v0cosθ]。

由此可知，在力学速度、加速度变量的求解中，通过对位移元、速度元、时间元等微元进行了利用，从而求的相关变量；反之，若已知速度和加速度（非稳恒量）求解位移，则利用积分思想，微元求和，进行叠加积分。

（二）动量和冲量问题

根据牛顿第二定律，[F合]等于动量[p]随时间t的变化率，因此对任一时刻t，将时间取微元，可得：[F=lim?t→0?p?t=dpdt=mdvdt=ma]。

I的物理意义是力对时间的积累，即力对时间的积分，对[?t→0]，[F]可视为恒力，在这段时间微元内，[dI=Ftdt]。

将所有冲量元[dI]求和即得[F]在一段时间内作用在物体的总冲量：[I=dI=t1t2Fdt=p2-p1]。

充分利用了微积分思想推导物理定理，任何变力对时间的积累都能通过微积分形式很好地反映出来，由此可求得任一变力在一段时间内的冲量及动量变化量。

（三）变力曲线做功

例3：一质点在[F]作用下沿着如图所示的路径从A运动到B，求[F]所做的功。

步驟：取微元：此过程质点受的力为变力，求这段过程变力做功，需利用微积分思想，将位移分成许多位移元[dr]，在每一段位移元[dr]内，力可近似看成恒力，因此可看成质点在恒力作用下沿直线运动做功。故每段位移元内力做的元功dW=[F?dr]。

积分：变力做的总功等于每段位移元内力做的元功的代数和：[W=dW=ABF?dr]，由此可知，变力做功求解方法是利用微积分思想，把变量问题化为微元常量，再积分求得总功。

（四）质量微元

1.对于质量连续分布的物体，可以把物体分成许多质量元[dm]，可得质心坐标：[xc=xdmm，yc=ydmm，zc=zdmm]。

这样，复杂的坐标计算就变得简单且易于理解。

2.对于质点连续分布的刚体转动惯量：[J=r2dm]，对于均匀圆盘，若已知质量为[m]，半径为R，求通过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。

分析思路：圆盘为连续分布的质点系，可对连续体选微小质量[dm]的转动惯量，然后积分求和，求得总转动惯量[J]。

步骤：设圆盘密度为[σ]，将圆盘分割成许多薄圆环，任一半径为[r]，宽度为[dr]的超薄圆环可作为一微元，则其绕盘中心轴的转动惯量[dJ=r2dm=r2σds=r2mπR22πrdr=2mR2r3dr]，对圆盘总的转动惯量[J=dJ=0R2mR2r3dr=12mR2]。

由于对圆盘整体而言，离轴的距离并非定值，因此不能直接套用公式，而需应用微积分思想处理，通过选取不同的微元，然后求积分得到结果。

三、结语

本文旨在使学生正确理解微积分思想，并通过一些实例分析，说明微积分利用分割法对变量进行分割可解决力学中的许多问题，使复杂的问题简单化。因此，熟练掌握运用微积分，可以降低物理问题的难度，使学生提升学习兴趣，理解微积分解题的基本思路，改善学习效果。

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作者简介：

尹芬芬（1987.02—），性别：女；民族：汉族；籍贯：湖南邵阳；最高学历：硕士研究生；职称：讲师；单位：铜仁学院；研究方向：理论物理。endprint