字斟句酌找问题

师者，传道授业解惑也。惑者，问题也。可以说我们的教学就是在不断地发现问题和解决问题的过程中进行和發展下去的。教学中，应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与。既要有教师的讲授和指导，也有学生的自主探索与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。问题是最好的老师，我们作为老师首先要引领学生学会去发现问题，进而解决问题，最高层次让学生自己去发现问题并解决问题。可以说培养学生发现问题比解决问题更重要。如何发现问题，就需要我们在字里行间去字斟句酌地找问题。

例如在讲授函数的概念时，首先要让学生理解函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。在函数y=f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。这里引导学生思考问题：为什么A，B是两个非空的数集？集合A中任意的数都有唯一的像，那么A中的不同元素（数）的像相同吗？会不会出现A中多个元素同时对应B中的某一个元素的情形；如何理解某种对应关系？再有我们在讲这个问题时是从A来着眼的，那么对于集合B有无特别的要求？比如集合B中有没有元素（数）不被A中元素所对应？如果再能从这个方向加以阐释，就更能加深对概念的理解。为更好的理解概念，举一例：已知集合A={1，2，3，4}，集合B={1，2，3，4，5}，问从A到B能构成多少个不同的函数？显然在函数的定义下，集合A中任意一个数在集合B中都有唯一确定的数与之对应，那么集合A中的数1可以对应集合B中的任意一个数，即有5种不同的选择，同样另外三个数每个也都有同样的5种不同的选择，从而构成了5×5×5×5=54=625个不同的函数。即若1对应5，2，3，4也可以对应5，当然也可以对应其它的任何一个数，但只能对应一个数。在这个定义下，集合B中的5个数中最多有4个数能被A中的元素对应，最少有一个。这里我们就可以理解为A中元素都有唯一的像，B中元素不一定的原像，若有，可能不唯一。另就对应关系而言，“某种确定的”就意味着可能这种关系是确定的，是存在的，能不能准确的写出来不一定。如上例A中1，2，3，4分别对应B中的1，2，3，4时，这个对应关系可以写成y=f（x）=x，x∈A，而如果打乱这种对应，如1对应2，2对应1，3对应4，4又对应2，这时这种对应关系就不易用一个明确的表达式写出来，但这种对应关系是确定的，存在的，只不过无法写出来罢了。这里引导学生去对概念进行逐字逐句，准确、细致的分析，有助于培养学生的问题意识，有助于学生思维能力的培养和提高。

再如问题：若函数y=lg（x2+2ax+3）的定义域为R，求a的取值范围，若值域为R呢？显然定义域为R时，学生理解对数式中真数所对应的内函数u（x）=x2+2ax+3只须△<0即可，从而可求出a的取值范围为{a|-[32}，值域为R，而函数②的定义域为R，但值域却为[0，+∞），不为R，为什么？函数①中的内函数x2-3x+2的本来的范围是[-[14]，+∞），但由于它作为对数式的真数，只能为正数，故这个范围中的所有负数和零被定义域限制掉了，只剩下了所有的正数，即它取到了所有的正数，这样值域才是R的，而函数②中的内函数x2-4x+5的范围是[1，+∞），虽然都是正数，但不是所有正数，故值域只能是[0，+∞）。这两个函数的定义域和值域能不能看出所求函数y=lg（x2+2ax+3）的值域为R需要什么条件？到这里相信学生应该能够理解只须△≥0即可，则可求出a的取值范围为{a|a≤-[3或a≥3]}。

又如函数周期性定义中：对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x），那么就称y=f（x）为周期函数，称为T这个函数的周期。在这个定义中我们要关注几个关键词“定义域”，“存在”，“非零常数T”。在这里我们讨论函数的周期性，一般指的是连续函数。第一个词“存在”，就意味着有的函数有，有的函数没有，并不是所有函数都是周期函数。第二个词“非零常数T”，既然是非零常数，那么这个常数T是正是负还是可正可负？又由什么来决定的呢？第三个词是定义域，定义域是什么形式的，是（-∞，+∞），还是（a，+∞）还是（-∞，a），还是（a，b）？在高中阶段，周期问题要求不高，了解就行，但还是需要分析一下，当非零常数T为正时，定义域不能是（-∞，a），而应为（-∞，+∞）或（a，+∞），为什么？当T为负时，定义域不能为（a，+∞），而只能为（-∞，+∞）或（-∞，a），这里可以说定义域与这个常数T是相互制约的。例如函数y=f（x）的定义域为（3，+∞），这时周期只有为正数时才能使对定义域内的任何数x，f（x+T）=f（x）才能成立，而如果这个周期为负值，如T=-2，那么对定义域内的数4，就会有f（4+（-2））=f（4）出现，由定义域为（3，+∞），f（-2）是没有意义的。从这点来说，平时我们说的若T是一个函数的周期，那么T的整数倍也是函数的周期，就是假命题了。

从以上三例可以看出，要想发现问题进而解决问题，首先就需要我们深刻理解问题，充分理解它的本质，发掘它的深层含义。唐人卢延让《苦吟》中有“吟安一个字，捻断数根须”，我们现在虽然不需去捻断数根须，但也要努力做到在字里行间去思考，逐字逐句去分析，也就是所谓的字斟句酌找问题。

作者简介：

常坤（1974.10—），性别：男；籍贯：安徽省蚌埠市怀远县；最高学历：本科；邮编：233400；单位：安徽省怀远县第三中学。