Veronese曲面的Willmore稳定性

聂昌雄, 石睿, 张雪莹

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

Veronese曲面的Willmore稳定性

聂昌雄, 石睿, 张雪莹

(湖北大学数学与统计学学院, 湖北 武汉 430062)

设x0:Mm→n是球空间n中的正则子流形,计算x0的共形体积泛函的第一和第二变分公式，并且通过计算证明了4中Veronese曲面是Willmore稳定的.

共形子流形;第一和第二变分公式;Willmore稳定性;Veronese曲面

0 引言

其中ξ=(x1,…,xN),η=(y1,…,yN)∈N. 令

Cn+2:={ξ∈n+3〈ξ,ξ〉=0,ξ≠0},

n+1:={[ξ]∈RPn+1〈ξ,ξ〉=0}=Cn+2/({0}).

本文中由下面三部分构成: 第一部分介绍一些预备知识. 我们在球空间n中建立子流形理论, 并且给出在Lorentz空间形式中超曲面的共形不变量和等距不变量之间的联系. 第二部分和第三部分给出球空间n中共形超曲面的第一和第二变分公式, 最后我们给出Willmore稳定性的定义并判定Veronese曲面的Willmore稳定性.

读者可以在文献[2-9] 中找到更多在球空间中的Willmore超曲面相关讨论的具体内容.

1 正则子流形的基本方程

我们首先简明地回顾一下子流形的共形几何.

令x:Mm→n是球空间n中的m维正则子流形, 则存在一个典型提升Y:M→Cn+1⊂使得共形度量g=〈dY,dY〉. 设{e1,…,em}是M的一组局部基, 对偶基为 {ω1,…,ωm}.

令Yi=ei(Y). 定义

(1)

本文中约定指标范围为:

1≤i,j,k,l≤m;m+1≤α,β,γ≤n.

则结构方程可写为:

其中{Y,N,Yi,ξα}的系数是M上的1-形式.

则结构方程的可积条件包括:

(2)

(3)

(4)

进一步地, 我们有

(5)

(6)

其中ρ是共形数量曲率.

下面我们给出由上诱导的共形不变量和子流形u:Mm→Rn(ε) 的同构不变量之间的联系, 其中ε=0, 1,-1,Rn(ε) 分别表示Rn,Sn和Hn.

(7)

(8)

上面两个式子是由第一基本形式I变换得到的.

(9)

(10)

2 Willmore方程

设x0:Mm→n是一个紧致, 可定向的m维正则子流形. 选取M上的一组局部标准正交基 {e1,…,em}, 其对偶基为 {ω1,…,ωm}, 且 {e1,…,em} 满足M的定向条件.

对共形体积泛函度量g, 我们定义共形(或Willmore)泛函(M)如下:

M.

共形体积微元 dM定义如下:

dM=ω1∧…∧ωm.

设x:M×n是一个关于x0的容许变分, 使得对每一个t, 在∂M上有x(·,t)=xt和xt*(TpM)=x0*(TpM). 对每个t,xt都有共形度量gt. 记W(t):=(xt). 设 {ξm+1,…,ξn} 是xt的标准正交基, 且和d 分别是M×和M上的微分算子, 则我们有

其中

(11)

我们得到

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

定义2.1设x0:Mm→n是一个可定向m维正则子流形. 对任意的紧邻域U, 容许变分x:U×→n的Willmore体积泛函定义为：

其中 dM是关于度量gt的共形体积微元. 若对任意的紧邻域U和它的容许变分x有W′(0)=0, 则我们称x0是共形空间n的一个Willmore子流形.

事实上, 我们有

已知如下结论：

(21)

我们称方程(21)式是Willmore方程或Willmore体积泛函的Euler-Lagrange方程.

令u:M→Rn(ε) 是一个正则子流形. 由(8)式和(9)式我们得

命题2.1令u:M→Rn(ε) 是一个正则子流形. Willmore方程可以由u的等距不变量写成如下形式：

(22)

推论2.1黎曼空间形式R3(ε) 中Willmore曲面满足ΔIH+2H(H2-KI+ε)=0, 其中KI是曲面的高斯曲率.

推论2.2黎曼空间形式Rn(ε) 中极小曲面是Willmore的, 于是S4中的Veronese曲面是Willmore的.

3 第二变分公式和稳定性

如果子流形x0:M→n有消失的共形形式, 即Φ=0, 则称为共形子流形. 在本节中我们假设子流形x0:M→n总是共形子流形.

现在我们计算共形Willmore子流形x0:M→n在法向变分下的第二变分公式, 即在任意紧邻域U上满足以下条件:

和

于是由 (13)-(20)式可得如下方程:

(23)

(24)

(25)

(26)

则 (9)-(10) 式可化为:

(27)

(28)

于是

(29)

进一步地, 我们有

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

由散度定理和Willmore方程, 共形Willmore子流形的第二变分公式为:

(35)

将 (26) 式的3个方程带入 (35) 式, 结合散度定理, 我们得到:

(36)

命题3.1的证明容易证明Veronese曲面是共形极小曲面. 因此它是Willmore的. 事实上, 如果用2() 的球坐标 (θ,φ)∈(0,π)×(0,2π), 则有

是f的第一基本形式的标准正交基. 定义

α1=(sinφ,cosφ),α2=(cosφ,-sinφ),

β1=(sinφ,cosφ),β2=(cos2φ,-sin2φ),

则

f2:=e2(f)=(cosθα2,sinθβ2,0).

选择一组标准正交基:

f2:=e2(f)=(sinθα2,-cosθβ2,0).

不难发现, 对Veronese曲面有

Veronese曲面的第二变分公式为

显然W″(0)≥0. 于是Veronese曲面是Willmore稳定的.

[2] Li T Z, Ma X, Wang C P. Willmore hypersurfaces with constant Möbius curvature in Rn+1[J]. Geometriae Dedicata, 2013, 166: 251-267.

[3] Li T Z. Willmore hypersurfaces with two distinct principal curvatures in Rn+1[J]. Pacific Journal of Mathematics, 2012, 256: 129-149.

[4] Li T Z. Compact Willmore hypersurfaces with two distinct principal curvatures in Sn+1[J]. Differential Geometry & Its Applications,2014, 32: 35-45.

[5] Guo Z, Li H Z, Wang C P. The second variational formula for Willmore submanifolds in Sn[J]. Results in Mathematics, 2001, 40: 205-225.

[6] Palmer B. The conformal Gauss map and the stability of Willmore surfaces[J]. Annals of Global Analysis and Geometry, 1991, 9: 305-317.

[7] Palmer B. Second variational formulas for Willmore surfaces[M]. River Edge,NJ: World Sci Publishing, 1992, 221-228.

[8] Wang C P. Moebius geometry of submanifolds in Sn[J]. Manuscripta Math, 1998, 96: 517-534.

[9] Wei G X. New examples of Willmore hypersurfaces in a sphere[J]. Houston Journal of Mathematics, 2009, 35: 81-92.

TheWillmorestabilityoftheVeronesesurface

NIE Changxiong, SHI Rui, ZHANG Xueying

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062, China)

Letx0:Mm→nis a space-like submanifold in the sphere spacen. We calculated again the first and second variation formulae of the conformal volume functional ofx0,and we also calculated the Willmore stability of the Veronese surface.

conformal submanifold; the first and second variation formulaes; Willmore stability; generalized Veronese surface

2017-03-23

国家自然科学基金(11571037)资助

聂昌雄(1974-)，男，副教授，E-mail：nie.hubu@yahoo.com.cn

1000-2375(2017)06-0574-06

O186.12

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.003

(责任编辑 赵燕)