概念核心·模型建构·学习过程

刘佳

【摘 要】揭示学科本质内涵与学情是教学课例研究的关键。具体而言可以从内容解读、学情研究、学习过程、思想提炼四个方面着手，系统诠释小学数学教学课例研究的过程与方法，以期揭示出普遍规律。“方程的意义”教学研究表明：方程概念的本质内涵在于建模，其关键在于等价；学生学习“方程的意義”，其焦点与难点在于帮助学生亲身经历方程模型的建构过程（即经历两次抽象过程），帮助学生积淀直接的抽象经验，对方程概念获得理解性掌握的同时，初步感知方程思想，提升数学核心素养。

【关键词】方程 抽象 等价 经验 建模

【内容解读】

“方程的意义”教学方法精彩纷呈，对于方程的基本概念和本质意义的定位，现有文献已经分析得比较清晰。比如，方程的本质特征是等价关系，即等号左右两边的量在数学上是等价的，而“含有未知数的等式”的定义方式只是方程的外部特征。

方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的等价关系的过程。方程思想的核心在于建模、化归，“等价”是构建方程的基础。学生学习方程的意义，关键在于通过现实情境理解等价，构建方程模型。

【学情研究】

对方程意义的理解难在对等价的理解。学生已经有了用字母表示数和用含有字母的式子表示数的学习基础，对相等关系有初步感知，熟悉天平的原理。这些是学生能够列出方程、理解未知数参与运算的有力助手和必要基础。

对于方程模型的建立，学生到底是怎么想的，需要做充分的学情调研。在没有学习方程的意义之前，学生怎样求解算式中的未知数？学生对于天平呈现的重量间的相等关系的理解和表达程度如何？脱离天平原型，学生还能较好地理解并表达等量关系吗？

针对这三个方面的问题，笔者对任教班级36名学生进行问卷调研，结果如下。

1.学生在学习等式的性质之前，可以利用“逆运算法则”解简易方程。

第一方面的问题是如“5+（ ）=13，我找到（ ）等于几的办法是： ”这样的题目。从学生在一年级起就熟悉的题目入手，这里的括号即相当于未知数，只是与方程所呈现的形式不一样。

结果显示：36份问卷正确率达100%，其中，35份是运用“逆运算法则”来求得未知数的值（如图1）。

2.天平是引入方程学习、构建方程模型非常好的现实原型，借助天平平衡状态，学生可以很好地理解和表达重量之间的等量关系。

第二方面的问题是呈现四组天平称重且呈平衡状态的情境，通过“描述图片的意思—用喜欢的方式写出看懂的意思—用简洁的方式表达图意—写出你发现的相等关系”这样四组层次递进的问题，调查学生对“等重”的理解。

结果显示：

由此可以发现，36份问卷中，92%（即33份问卷）能够借助天平称重的平衡状态，较好地理解并表达重量间的相等关系。

其中，11份问卷（即31%的学生）能够借助文字来表达相等关系，处于方程概念抽象的第一个层次：直观表达。

2份问卷（即5%的学生）试图借助符号简化文字去表达相等关系，处于方程概念抽象的第二个层次：半符号化表达。

20份问卷（即56%的学生）运用方程的形式来表达相等关系，处于方程概念抽象的第三个层次：符号化表达。

3.当简单实际问题脱离天平原型，在近50%的学生脑中，也已学习了四年多的数的运算，仍占据主要地位，学生求解的意识强烈，将未知数当成已知量参与运算显得十分困难。（这实际上反映了从算术思维到代数思维的转变是多么困难，也反映了从算术发展为代数学的重要性）

第三方面的问题来源于人教版教材《方程的意义》的随堂练习题。采用年龄大小、一星期跑步路程、分糖果三个情境，均为简单的加减关系、乘除关系的问题，每题中有一个量用字母表示，问题是“你发现相等关系了吗？列算式表示”。

[术]

统计结果发现：36份问卷中，13份问卷在遇到非天平情境时，又回到了算术运算，直接列算式求解未知数；有20份问卷能够用含有字母的等式表达发现的相等关系，但其中8份列出如40-28=x（岁）的等式，将未知数单独放置在等式的一边，不过并没有进行运算；其中5份虽然列出如a=25×3=75（颗）的式子，但其目的仍然是试图求解未知数；另有3份问卷表达不清。

学生建立方程模型的难点在于从算术思维到代数思维的跨越，即从数的运算过渡到式的运算，从关注一个式子的值到关注一个等式的成立，要让学生明白“=”两边讲了两个故事，这两个故事在数学上是等价的。

【学习过程】

在教学中，可以从方程的本质特征“等价关系”出发设计教学。通过问题情境，分析其中有哪些量，量与量的关系是什么。然后依次递进地用自然语言表达、用符号表达、用含有字母（未知数）的式子表达这种等量关系，从而构建方程模型，帮助学生将自然语言逐步抽象为数学语言，深入理解方程的含义是表达等号左边与等号右边等价，突出方程是一个建模过程。

基于以上思考，设计并进行教学实践。这是一道以活动小组为背景的简单实际问题。分析问题中的数量关系，找出其中的等价关系，尝试构建方程。

例：501班某社会实践活动小组共有8人，其中，男生比女生多4人，女生有几人？

1.仔细阅读题目，题目中有哪几个量？

小组共有8人，男生比女生多4人，还有未知的女生人数。

2.你能用自己的话表达量与量之间的关系吗？（边说边板书）

女生人数与4的和就是男生人数。

女生人数+4=男生人数。

男生人数+女生人数=小组总人数 ，即男生人数+女生人数=8。

女生人数+4+女生人数=小组总人数，即女生人数×2+4=8。

3.你能用数学语言表示这些关系吗？

如果女生人数用♀表示，男生人数用♂表示，那么

♀+4=♂

♀+♂=8

♀+♀+4=8

4.如果把女生人数♀换成大家普遍使用的字母符号x来表示，那么，你能用相应的式子表示上面的关系吗？

x+x+4=8，即2x+4=8

“找出相等关系”的过程，就是一个将现实问题逐步抽象为数学问题的建模过程。学生围绕例题主要分析四个问题。

1.发现实际问题中的量，以及量与量之间的等量关系。

这个实际问题涉及多个量，既包括小组共有8人，男生比女生多4人，也包括未知的女生人数。

这些量与量之间最重要的等量关系是：

?男生人数比女生人数多4人。

?男生人数和女生人数一共8人。

?女生人数加4人，再加女生人数也是8人。

2.用自然语言表达等量关系。

?女生人数与4的和就是男生人数。

?女生人数+4=男生人数。

?男生人数+女生人数=8。

?女生人数+4+女生人数=8 即女生人数×2+4=8。

3.用半符号（或符号）语言表达相等关系。

如果女生人数用♀表示，男生人数用♂表示，那么

♀+4=♂

♀+♂=8

♀+♀+4=8

4.用含有未知數的等式表达相等关系，列出方程。

用x表示女生人数，由题意可知，男生人数为x+4。

于是，x+x+4=8，即2x+4=8。

【思想提炼】

方程2x+4=8的建模过程，一共经历了两次抽象。

第一次抽象是从现实情境到用自然语言去等价表达的过程，其中的核心在于寻找等量关系。这是方程建模的关键。

第二次抽象是用数学符号等价表达出用自然语言呈现出来的关系。

这样，比较全面地展示了建模思想，即用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边相互等价，至于其中的关系是用自然语言表示，还是用数学符号表示，都是次要的，其关键在于，等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。这是数学建模的本质表现之一。

方程建模过程可以用右图概括表示。

在上述过程中，核心环节在于寻找等量关系，并用恰当的量表达出来。其中的难点在于，用数学语言提炼、表达现实生活中的等价关系，将其抽象成数学问题，进而建立数学模型，这就是现实问题数学化的过程。

[发现现实问题中的量以及量与量之间的等量关系][用自然语言表达等量关系][用半符号语言或直接用符号语言表达等量关系][用含有未知数的等式表达等量关系][抽象

][再抽象

]

认识方程，理解掌握方程、解、解方程等概念和方法，把握解方程的运算技能是重要的学习内容。但是，亲身经历从现实问题到方程的抽象过程，积淀数学抽象的经验、体会抽象思想的渗透也是十分重要的目标。数学学习不仅要掌握知识技能，更要在学习过程中增长智慧。数学教育的目的不仅是掌握多少知识、会解多少题目，而是让学生变成会思考的聪明人。

（浙江省嘉兴市南湖区新丰镇中心小学 314000）