“常微分方程”实验教学方法探索

李 萍，赵 武

“常微分方程”实验教学方法探索

李 萍1，赵 武2

(1.西南民族大学 计算机科学与技术学院，四川 成都 610041；2.电子科技大学 经济与管理学院，四川 成都 610054)

“常微分方程”是数学类专业的一门核心基础课程，也是学生解决实际问题常用的数学的工具。该文界定了“常微分方程”的教学内容，给出了数学实验的内涵，从 “常微分方程”教学要求和目的出发，结合数学实验的思想和方法、融入数学建模、数学文化，探讨了具体的实验教学方法。

常微分方程；数学实验；数学建模；数学文化

1 常微分方程课程的基本介绍

常微分方程诞生于数学与自然科学进行结合的16～17世纪，在生产实践和数学的发展过程中，逐渐成为科学研究的强有力的工具。许多自然科学和社会科学问题的研究，都可以规划为常微分方程的求解，如万有引力定律、生态种群竞争[1]、期权定价[2]以及化学反应过程的稳定性都可以通过常微分方程建立数学模型，并归结为微分方程模型解的结构和性质的研究，从而解决实际问题。

常微分方程是学院数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课。通过几年来的教学实践，在把握好常微分方程的核心内容和特点的基础上，为激发学生的学习兴趣，结合数学建模与计算机应用，可以对常微分方程这门课程进行实验教学探索，使学生很好地理解和掌握常微分方程的主要方法和内容。

2 常微分方程的教学内容

计算机科学与技术学院一直采用文献[3]为教材。此版本是 “十一五”国家级规划教材，特点是概念清晰、例题较多、习题精练，尤其是课后学习要点能起到画龙点睛的作用。学习内容包括一阶微分方程的初等解法[4-5]、一阶微分方程解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组等内容。

作为综合性民族院校，学校每年都招收一定比例的民族学生，学生层次水平不平衡，理解能力和专业水平参差不齐，因此在教学大纲的基本要求下，对一些复杂的定理讲解，如解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理等进行了简化，对证明过程采取讲思路的方法，这样既有教学效果，也大大提高了授课的效率，更符合少数民族地区学生的总体水平。同时对于一些抽象概念，如向量场、积分曲线，可以通过数学实验作图，变抽象为具体的理解。对于重点内容做到精讲，如一阶微分方程和常系数高阶线性微分方程的解法，通过数学实验，借助Matlab软件，比较解析解和数值解，学习解的性质，融入数学建模，联系实际、解决问题。

3 数学实验的内涵

在目前计算机普及应用的环境下，Mathematica、Matlab和Maple逐渐成为数学教学和研究的有效工具。数学实验就是在计算机系统的帮助下，利用常用数学软件工具解决数学问题的一种教学手段，是将数学科学转化为数学技术的主要途径。它要求从问题出发，强调以学生自己动手、动脑为主，在教师的指导下用学到的数学知识和数学的软件来分析解决一些应用问题[6]。其意义不仅仅在于使学生掌握必要的数学知识，更重要的在于学生的独立参与，从而提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识，培养学生的动手能力、独立思考问题的能力和应用数学的能力。

4 常微分方程教学方法探讨

4.1 应用计算机数学软件设计演示实验，进行验证性试验，理解常微分方程的概念、定理及性质

对常微分方程教学而言，常系数线性齐次方程组的特征值、特征向量、若尔当标准形、标准基解矩阵、拉普拉斯变换等都是可用数学软件处理的教学内容。而文献[3]中虽然不涉及计算机数学软件，但是将应用于常微分方程的典型例子的语言程序作为了附录。因此，针对计算机科学与技术学院实验室建设和学生实际情况，鼓励学生将三种数学软件作为常微分方程的课后自学内容，将数学软件作为辅助性工具，求解常见的一阶微分方程的解析解，并对所求结果进行验证；通过编程求解初值问题进一步掌握数值解法；作图理解抽象概念等等。这些实验内容既培养了学生自主学习的能力，也提高了教学质量[7]。

如在讲解第二章一阶微分方程的初等解法时，向量场、等倾线、积分曲线都是对于微分方程的近似解求解和微分方程几何性质研究非常重要却比较抽象的概念。现在将数学软件 (如Matlab)应用于教学，画出方程的向量场和积分曲线，定性地反映向量场和积分曲线的一些性质，就比较形象和直观，也便于帮助学生将难以理解的概念和难以想象的图形形象地表示出来，变抽象为具体，使学生更加深入地理解的几何意义。

画出方程d y/d t＝y(1-y)在区域D＝ {(x，y)｜0≤x≤6，0≤y≤2} 的向量场和初值条件 y(0) ＝ 0.2 和y(0)＝ 1.8下的积分曲线，向量场用蓝色表示，积分曲线用红色表示。事实上，学生只要在Matlab窗口应用命令meshgrid创建区域D的网格矩阵，再通过命令quiver创建D中的向量图，最后利用plot命令就可以绘制向量场和积分曲线图。如图1所示。

图1 d y/d t＝y(1-y)的向量场及积分曲线

通过实验，学生很容易明白方程的一个解就是位于它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的每一点都与向量场在这一点的方向相切。从而让学生形象地掌握解就是始终沿着向量场中的方向行进的曲线。

另一方面，为了杜绝学生直接套用固定命令得到结论，不去掌握常微分方程的基本理论、基本知识和基本方法，目前并不提倡占用常微分方程太多课时，而只是作为辅助性分析。

4.2 融入数学建模的思想，通过案例教学，进行应用性试验，解决实际问题

常微分方程有广泛的应用背景和现实需要，合理融入数学建模和数学实验的思想和方法，引导学生用常微分方程来建模解决一些实际问题，做到理论与实际相结合，既充实了课堂教学内容，又调动了学生的积极性与主动性[8-9]。方法是在该课程的教学中采用 “提出问题—分派任务—问题分析—模型建立—模型求解—模型解释”的教学模式向学生讲清微分方程的实际背景，列出微分方程并进行求解，再返回到实际问题中去解释生活中的实际现象。下面以对工农业生产和治理环境污染中经常要碰到的溶液浓度问题和时间估计模型为教学案例来分析常微分方程实验教学的具体设计。

1.问题提出:已知容器内盛有1 000 kg的清水，若以5 kg/min的速率注入浓度为0.2的盐水且不停地搅拌，并以同样的速率排出搅拌后的盐水，那么经过多少时间能使容器内的含盐量达到100 kg?

1)将学生5～6人编为一组，每一组选取一名学生做组长，组长向组成员分配一项主要负责任务，如建立建模、模型求解、程序编写验证、成果展示等等，组成员之间相互协助完成任务。

2)在问题分析环节，引导学生根据实际问题做出合理的假设，让学生参与到假设的过程中，使学生的思维从现实世界逐渐过渡到数学世界中。在本环节，引导学生假设搅拌是在瞬间完成的，即容器中液体浓度任一时刻都是均匀变化的。

3)在模型建立环节，引导学生通过函数表示重要的变量。比如用函数表示出t时刻容器内的含盐量、t时刻溶液浓度和含盐量微元。若y(t)代表t时刻容器内的含盐量，y(0)表示初始时刻容器内的含盐量，那t时刻溶液浓度为:y(t)/1 000。 在[t，t＋d t]时间间隔内，进盐量为0.2×5×d t，出盐量为:0.001×y×5×d t。 指导学生挖掘变量之间的关系，得到含盐量微元，尝试写出这些关系的数学表达式，即 d y＝d t-0.005y d t， 化简为d y/d t＋0.005y＝1。

4)模型求解:这是一个一阶线性非齐次微分方程，易求得该方程满足初始条件y(0)＝0的特解为y＝200(1-e-0.005t)。 将y＝100代入特解，即可求得t＝ln2/0.005≈138.62 min。即经过约8317 s可使容器内的含盐量达到100 kg。

5)模型解释:在获得了模型的解后，让学生代表小组阐述容器内含盐量y随t的变化究竟是怎样的规律。具体实施如下:运用插值法，让学生用Matlab画出容器内含盐量y随t的变化曲线；让学生分组讨论曲线所反映的规律，并用文字来描述。

2.时间估计模型:在凌晨1点警察发现一具尸体，测得尸体温度是29℃，当时环境的温度是21℃，一小时后尸体温度下降到27℃，如果人的正常体温是37℃。请帮助警察估计死者的死亡时间。分派任务与处理溶液浓度模型一致。

1)在问题分析环节，向学生介绍牛顿冷却定律:将温度为T的物体放入温度为T0的介质中，则该物体的温度T的变化速率正比于该物体与周围介质的温度差T-T0， 即d T/d t＝-k(T-T0)， 其中k＞0，为比例常数。

2)根据牛顿冷却定律，即可容易得到方程。设该名死者已经死亡t1小时，于是根据题意建立模型:

这是一阶微分方程的边值问题。

3)模型求解:学生通过分离变量法可得方程的通解为T(t)＝T0＋C e-kt。 把环境温度T0＝21和边界条件代入通解有C＝16， k≈0.2876，t1≈2.409。 于是可知该死者死于2.409 h前，即前一天夜晚10点35分左右。如图2所示。

图2 例4.2.2的积分曲线

4)模型解释:除了指导学生通过数学软件验证方程的解外，引导学生分析模型的理想性。上述模型的建立是假设环境的温度恒定为T0＝21℃不变，若死者的死亡时间较短，则上述模型可以很好地推算出死者的死亡时间；但是若死亡时间较长，显然环境的温度应该是有变化的。从而上述模型可以改进为非自治的情形。

除了溶液浓度模型和时间估计问题，放射性元素衰变问题、人口预测、射性废物的处理问题[10]等，都是常见的常微分方程模型。选择贴近学生生活现实的模型，教导学生用所学的知识进行模型求解，将课程内容和数学建模内容、数学实验内容进行有机融合，使学生在学习课堂知识的同时掌握数学建模和数学实验的思想，大大提高了学生学习数学的积极性。

4.3 渗透数学文化，培养学生的数学能力和数学素养

在常微分方程教学中渗透数学文化，是指在教学过程中将数学的思想、精神、方法以及数学史、数学美等与常微分方程的相关知识有机融合，让学生在收获知识、提高技能的同时受到数学文化的熏陶，逐渐提升数学素养[11]。“如果您的教学始终只是停留于知识与技能的层面，您就只能算是一个‘教书匠’；如果您的教学能够很好地体现数学的思维，您就是一个 ‘智者’，您给学生带来了真正的智慧；如果您的教学能给学生无形的文化熏陶，那您是一个真正的大师，您的生命也因此而充满了真正的价值”[12]。而常微分方程其独有的学科特点保证了在教学过程中渗透数学文化思想的可行性。比如高阶线性微分方程和一阶线性微分方程组的相互转化、一阶常微分方程初等解法中的变量分离法、常数变易法、高阶常系数齐次线性方程的欧拉待定指数函数法，无不体现了数学的化归思想。在教学中注意将知识点融会贯通，学生就能直观领悟其中蕴含的化归等数学思想方法。另一方面，还可以结合数学史介绍引出每个阶段的授课内容，包括相关数学家的趣事和每个理论的来龙去脉、发展的经历等等。比如在讲解欧拉方程时，就可以结合欧拉的生平和数学贡献，最后指出欧拉虽然后期双目失明，他还是以惊人的速度撰写出了生平一半的著作，以此在潜移默化中培养学生顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。

5 结束语

总之，常微分方程的实验教学方法需要不断探索、不断实践，并且教师在教学过程中要及时与实际问题和当下建模大赛相结合，渗透数学实验和数学文化的思想，激发学生的学习积极性，扩大学生的数学视野，让学生看到相关理论知识的应用前景，努力把学生培养成实践能力强的应用型人才。

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[12]郑毓信.漫谈数学文化[J].小学数学 (教学版)，2008(3):37-39.

Exploratory Research of Experimental Teaching Method of Ordinary Differential Equation

LI Ping1，ZHAO Wu2
(1.School of Computer Science and Technology， Southwest University for Nationalities， Chengdu 610041， China；2.School of Management and Economics， University of Electronic Science and Technology of China， Chengdu 610054， China)

Ordinary differential equation is a fundament curriculum for the mathematics major.It is also an important tool for students to solve the practical problems.This paper defines the teaching content of the ordinary differential equation and gives the connotation of mathematical experiment.From the objectives and the teaching requirement，combined with the ides and methods of mathematical experiments， mathematical modeling， and mathematical culture， some kinds of experimental teaching methods are explored.

ordinary differential equation； mathematical experiments； mathematical modeling； mathematical culture

G642.0

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2017.05.031

2016-12-23；修改日期:2017-03-21

电子科技大学高等教育人才培养质量和教学教改项目资助 (2016-2018)；西南民族大学中央高校基本科研业务费专项资金项目资助 (2017NZYQN12)。

李萍 (1982-)，女，博士，讲师，主要从事微分动力系统稳定性方面的研究。