利用几何直观，助力学生理解数学

郭宝珠

“课标（2011版）”提出了“几何直观”这一核心概念，那么什么是“几何直观”？它的本意是什么？“几何直观”是一个组合词组，它的内涵有两点：一是几何，这里是指图形。二是直观，直观的本意是指用感官直接接受的、直接观察的。这里的直观是指根据现在看到以及以前看到的东西进行思考、想象。因此，我们可以把“几何直观”理解为依托、利用图形对数学的研究对象进行直接感知和整体把握的能力。在教学过程中，什么情况下需要几何直观？如何借助几何直观进行教学？如何利用几何直观帮助学生理解数学知识的本质？下面我将结合具体例子谈谈个人的看法。

一、利用几何直观，理解运算算理

在数的运算教学中，很多时候我们只注重算法的教学，强调熟练技能，忽略了算理。其实学生计算能力的提高，不仅仅是提高学生计算的熟练程度，更重要的是引导学生据“理”而“算”。算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。

如：五年级下册《异分母分数的加减法》的教学。

1.出示学习单，请学生根据学习单的要求在小组内自主学习。

（1）想一想、算一算1/2+1/8的结果是多少？

（2）请借助圆片折一折、画一画，检验计算结果是否正确？

（3）完成后在小组内说一说你是怎样想的？

2.全班交流算法。在交流过程中引导学生质疑：为什么要把1/2变成4/8？当学生回答把它们化成分母相同的分数，这样就好算了！教师追问把二分之一变成八分之四仅仅只是好算吗？想一想，谁还有更合理的解释？你能用图给大家解释解释吗？学生通过直观的图形清楚、明白地解释了异分母分数相加的计算方法与道理。利用直观图教师引导学生体会，分数的加法和整数、小数的加法一样，都是相同的计数单位才能相加。

在教学中，教师抓住“为什么要先通分再相加？通分的目的是什么？”这一核心问题引导学生利用图进行解释，将数与形结合起来，让学生体会只有平均分的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加减的道理，在直观感知中不仅理解了异分母分数加减法的算理，而且进一步理解了分数、整数、小数加减法的计算在本质上是一致的，即相同的计数单位才能相加减。

在人教版教材中，像这样借助几何直观来帮助学生理解抽象的算理的例子还有很多，如：利用点子图来理解两位数乘两位数的算理，利用长方形模型来理解分数乘法的算理，利用线段图来帮助理解分数除法的算理，利用面积模型来理解乘法分配率等。因此在教学过程中，教师应抓住数学本质设计相关的核心问题，借助几何直观让学生充分的探究、质疑，充分挖掘算理背后的道理，将推理与算理建立联系，做到明“理”而“算”，提高学生的数学素养。

二、利用几何直观，理解数学概念

概念是数学的基本细胞，概念之间形成“网络”就构成了数学的基本内容。因此概念的学习无疑被看成是数学学习十分重要的一环。但由于数学概念的高度抽象性与小学生思维的具体形象性之间的矛盾，造成了学生学习概念存在记忆或背诵概念的形式化定义的现象，因此在概念教学中我们应当借助几何直观和学生已有的经验，创设合适的教学情境，在探究活动中，把直观形象和感觉经验进行合理的抽象，帮助学生理解、建立相应的数学概念。

如《平均数》的教学。在学生初步感知、理解平均数的意义后，教师利用直观图设计以下教学过程，让学生进一步理解平均数的意义。

（1）（依次出示下图）平均数会不会在这儿？为什么？利用直观图帮助学生建立平均数的取值范围，它既不是一组数中最小的数，也不是最大的数，平均数一定在这组数中最大的数与最小的数之间。

（2）（依次出示下图）猜猜C的位置？说说你是怎样想的？

教师没有给学生提供具体的数据，而是提供平均数的位置以及长短不一的直条，猜C的位置。学生习惯用计算的方法解决问题，但是没有数据怎么计算？学生的思维受阻之后，必然会另辟蹊径，利用直观通过“移多补少”进行合情推理，得到C的位置。借助几何直观把抽象问题还原于直观问题，帮助学生理解平均数是一个什么样的数，有什么意义和作用，使原本看不见摸不着的平均数，清晰地站在学生面前。

小学数学教材中的许多概念，如：“分數的认识”、“小数的认识”可以借助“面积模型”、“数线模型”等来帮助学生理解、建立概念；“周长的认识”可以利用多媒体直观演示让学生首先“看一周”，接着“摸一周”，“描一周”，最后先估再量“一周的长”，这些直观的感知、操作活动，使抽象的概念对于学生而言变得丰富和生动起来，而不再是一种空洞的“词汇游戏”。

三、利用几何直观，分析解决问题

解决实际问题是数学教学的重要目标，也是当下培养学生核心素养的目标之一。在数学教学中，我们常常发现学生对解决实际问题，特别是具有一定难度或步骤较多的实际问题容易产生紧张、畏难等心理，长此以往必将影响学生的学习兴趣，阻碍学生的发展。而“几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”

如，“妈妈买了2千克苹果和5千克梨，共用去10.8元，已知买2千克梨的钱可以买1千克苹果，每千克苹果、梨各多少钱？”

题目中文字比较拗口，数学关系复杂，学生不容易理清数量之间的关系，但是如果将文字上的数量关系转化为如下的线段图表示时，数量关系就一目了然了。

人教版教材中的一些例题，如：三年级上册“倍的认识”以及“归一和归总的问题”；五年级上册的用方程解决“相遇问题”；六年级的分数、百分数应用题等，教材在编排上都借助了直观的线段图帮助学生理解题意，提炼题中的数量关系。

其实借助图形解决问题，通常要把研究的对象转化成图形，这样就把对象之间的联系转化为图形之间的关系，再借助图形直观进行思考、分析并解决问题。这样为学生分析问题、解决问题能力的发展提供了“拐杖”，发展了学生的思维能力，提升学生数学素养，为学生持续发展奠定扎实基础。endprint

四、利用几何直观，发展思维能力

几何直观与逻辑、推理是不可分的。它需要依靠逻辑的支撑。几何直观不仅仅只是看到了什么？更重要的是通过看到的图形思考到了什么？想象到了什么？这是数学非常重要而有价值的思维方式。它会把现在看到的与以前学到的结合起来，通过思考、想象、猜想出一些可能的结论和论证思路，这就是合情推理，它为严格证明结论奠定了基础。

如《三角形的内角和》一课，我根据“观察——猜想——验证”环节设计了以下教学过程。

1.课件动态演示引导学生观察

（1）课件出示一个锐角，接着连接锐角边上的两点形成一个锐角三角形。

（2）课件第二次出示这个锐角，旋转它的一条边把它变成一个直角，连接直角边上的两点形成一个直角三角形。

（3）课件第三次出示这个锐角，旋转它的一条边把它变成钝角，连接钝角边上的两点形成一个钝角三角形。（最后如下图）

2.观察、猜想

（1）仔细观察这三个三角形，你认为哪个三角形的内角和最大？说说你的想法。有的学生认为钝角三角形的内角和最大，因为钝角最大。有的学生认为是一样大的，虽然钝角三角形中钝角最大，但是它的其他两个角都比较小。

（2）继续观察，现在继续旋转钝角三角形的一条边，使这个钝角不断的变大、变大、再变大……你看到了什么？學生发现：钝角三角形中钝角越变越大，而另外两个锐角越来越小。

（3）想象一下，如果这个钝角继续变大，它就越来越接近…（平角、180度），而另外两个角的大小会怎样？

（4）由此想来，三角形的内角和可能是多少度？

学生猜想：三角形的内角和可能是180度。

师：这是我们的猜想，那么三角形的内角和到底是不是180°呢？你有什么办法来验证？

我们知道猜想要有一定依据，不能凭空猜想。本环节教师创设了动态的直观图，让学生观察、体会三角形三个内角的变化有此消彼长的现象，但变化有一定的极限：就是不大于180度。这一教学环节，让学生经历了观察、猜想的过程，一方面有利于培养学生的观察能力和空间想象能力，形成良好的空间知觉；另一方面为形成猜想，探索三角形的内角和奠定基础。

“观察——猜想——验证”这本身就是一个几何直观的过程。在小学数学教材中一些公式、运算定律、探究规律等知识，均可以遵循这样的教学过程，创设合理情境让学生从观察和猜想开始，通过自主探索、体验和感受数学知识的发现过程，发展思维能力，提升数学素养。endprint