MPCK视角下的高中数学定理教学及案例分析

杨建宁

[摘 要] MPCK是涵盖教育学、心理学以及学习论的综合性理论知识，是数学知识的学术状态向学生学习形态转化的重要理论基础. 本文通过MPCK视角下正弦定理教学再设计几个环节的设计与展示，将正弦定理教学的开始、发展、延续进行了具体而详尽的阐述，在实际案例的分析中，也再次展现了MPCK理论在定理教学中所具备的指导意义.

[关键词] MPCK；定理；概述；视角；思考；再设计

何为MPCK理论

教师的专业知识结构理论是美国斯坦福大学教授、著名的教育家舒尔曼于1986年提出的，简称为PCK的学科教学内容知识（Pedagogical Content Knowledge）是其核心要素. 数学教师从事专业教学所应具备的核心知识被香港中文大学黄毅英教授冠上了专门性的称谓——MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）. 数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）是MPCK最为主要的几个组成部分. 一般说来，教师从学习者的兴趣与能力这一角度出发，使得学习中具体的课题、问题或者论点得到一定的组织、表达与调整，最终令学习者对数学学习的内容、知识达成理解与掌握的整个过程即为MPCK的本质.

简单说来，MPCK是与教学相关的综合性知识，它涵盖了教育学、心理学、学习论等大量的教育学习原理，对于数学教学内容在某一领域的表达、呈现以及解释做出了学生更易接受与理解的展示. 通过一些特有的方式将数学知识的学术形态转化为易于学生数学理解的教育形态以及学生的学习形态，并在此基础上着力提高学生的数学能力及数学素养是MPCK的核心内容. 对于教师的教学设计与课堂教学而言，MPCK理论是其基础，而且教师的MPCK在很大程度上影响着教师对教学内容的理解与把握程度、教学方法的运用的适当程度以及课堂教学的效果.

基于MPCK视角下的定理概述以及教学思考

受逻辑限制并被证明为真实的数学知识、原理等方面的陈述我们称之为数学定理，它是数学基础知识构成的主要内容之一，数学推理的过程都必须依据数学定理而进行，对于学生的推理论证来说，它也是学生必需的重要工具之一. 由此看来，数学定理教学的效果对于学生对定理内容的理解和掌握、对数学问题中定理的实践应用有着相当直接的重要影响，与学生数学素养的养成和持续发展也有着相当直接的关系，所有这些都说明了数学定理的教学在高中数学教学中的地位是相当突出而重要的. MPCK理论运用于高中数学定理的教学设计中可以突出表现为定理背景的呈现、定理核心内容的突出以及定理本质的体现，使得高中数学定理的教学以及教学过程与效果的评估具备了相当重要的理论依据和指导.

教师基于MPCK视角的高中数学定理教学设计需要思考的问题很多，比如：学生学习这个定理的必要性如何？该数学定理的背景情况如何？其核心内容与作用怎样？学生可能存在的学习困惑在哪里？又该如何解决？所有这些核心知识的呈现、组织以及调整在教学设计中的合理安排与落实应该怎样布置？定理的应用应该如何进行设计与落实？

基于MPCK视角下正弦定理的教学设计及思考

1. 正弦定理在解决三角形问题中的地位和作用

“三角形的边角关系”、“解直角三角形”是初中数学学习中重要的内容，正弦定理正是这两个重要内容的直接延续，它是三角形实践问题分析、探究与解决中的具体运用和重要工具. 高中教师对于正弦定理教学之初的主要任务便是对正弦定理的导入以及证明，并且在MPCK视角下对正弦定理的教学进行精心的设计和安排，将与之相关的一系列旧知识进行有目的的复习，使得学生在学习中对联系及发展等辩证观点产生逐步的体会，应用意识、探究能力以及处理问题的能力逐步得到锻炼、发展与提升.

2. 基于MPCK视角下正弦定理教学设计思考的基本环节

环节1：对三角形边角关系这一旧知的回顾.

初中数学中三角形边角关系这一旧知的回顾.

如图1所示，a，b，c是Rt△ABC三条边的边长，∠A，∠B，∠C是它的三个角，∠C=90°，请问该直角三角形的边角关系如何？

图1

设计意图：教师首先引导学生对于初中已学的相关知识进行有目的的回顾，并在引导、启发以及回顾中触动学生对三角形边角关系思考的着眼点，将学生初中已经掌握的大边对大角、小边对小角等旧知作为新知识的生长点和认知基础.

环节2：对三角形边角关系实际问题求解的初步感受与认知.

如果△ABC中BC=12，∠A=30°，∠B=45°，AC的长度怎样求解？

如果△ABC中BC=12，∠A=120°，∠B=45°，AC的长度怎样求解？

设计意图：三角形的边角关系应该在何处寻找突破口？在直角三角形的邊角关系上直接进行正弦定理的猜想必然是有所牵强附会的，但是通过以上两个问题的设计与求解，学生借助直角三角形对AC的长度进行具体的思考与求解，结合环节1所产生的认知冲突，学生学习一开始的陌生感很快能够消失，求解欲望在认知冲突的发展中得到激发，对正弦定理进一步探究的思想准备也有了一定的基础.

环节3：从特殊三角形到一般性三角形着手探究，使得正弦定理在归纳与猜想中形成并得以证明.

a，b，c是Rt△ABC三条边的边长，∠A，∠B，∠C是它的三个角，∠C=90°，该三角形a，b两边边长跟∠A，∠B之间是否存在某种等量关系呢？如果△ABC为任意三角形，类似的结论是否存在呢？

a，b，c是△ABC三条边的边长，∠A，∠B，∠C是它的三个角，请问a，b，c跟∠A，∠B，∠C之间是否能够建立起某种关系呢？

设计意图：此环节的设计中体现了特殊到一般这一数学思想方法，这也使得正弦定理在数学史上发现和提出的轨迹得到了再现，环节2到环节3中第二个问题的解决显得更是水到渠成. 基于MPCK视角下的正弦定理的教学设计中直接将结论告诉学生的设计和行为是不可取也是不能存在的.endprint

環节4：利用正弦定理这一新学知识对环节2中的问题进行再解决.

设计意图：通过几个环节的设计学习，正弦定理是被学生获得并证明的新知，引导学生利用新知对环节2中的问题进行再解决，让学生体会到正弦定理解决具体问题的简洁，添加辅助线的繁复过程被省略了，学生对正弦定理解决具体三角形边角关系问题的应用价值也有了更深的体会.

环节5：问题串的设计促进学生对正弦定理的进一步理解.

通过以上的一系列讨论， 在△ABC是确定的比值这一结论很容易便可以得出，那么，这个比值具备的几何意义怎样？

Rt△ABC中边与其所对角的正弦值的比所具备的几何意义便在于斜边c. 进一步猜想，在一般的三角形中也会出现这一结论吗？同样的几何意义一样存在吗？在△ABC中哪个元素能够确定这个固定的比值k呢？

△ABC是否能随其一条边及其对角大小的确立而确定呢？教师可以利用几何画板制作的课件引导学生对这个问题展开思考，设定△ABC中BC边的大小与位置、BC所对应的∠A均不变，引导学生对此情况进行观察并由此得出△ABC的变化情况以及点A的运动轨迹.

整合三角形外接圆这一知识点的关联思考，试问 = = =k中k的情况？

设计意图：教师在教学中应注重正弦定理不同形式（诸如 = ）的呈现帮助学生对正弦定理本质的进一步理解，因此，上面一系列问题的设计在正弦定理教学再设计的思考中是非常有必要的，对于正弦定理中R的发现也起着相当重大的促进作用.

环节6：启发并引导学生进行正弦定理解决实际三角形问题的归纳与总结.

学生通过教师教学再设计的思考以及自身的努力探究，对正弦定理有了准确而深刻的理解，大家谈谈正弦定理对哪些实际问题的解决是适用的呢？

设计意图：在学生的认知与理解到达一定深度的关键时刻，教师恰当的提问使得学生再次投入问题的探究中，也使得学生已学知识的重新构建与创造获得了有益的机会，在具体问题的解决中寻找、归纳出解决问题的具体方法.

3. 基于MPCK视角下正弦定理教学的再设计的思考与分析

从MK的角度来看待定理的学术形态向教育形态转化的前提也是多方面的，数学教师应具备的深厚且系统的学科知识、数学定理的背景与核心内容、相关定理之间的联系、所教定理在实际问题解决中的具体应用都是包含其中的，所有这些也是教师对数学定理有效教学的必要条件. 因此，从MK的角度来考虑正弦定理教学的再设计时，教师首先应该思考并渗透于教学活动中的问题很多，诸如：解斜三角形的必要性在哪里？正弦与余弦定理在解三角形中是必须应用的定理吗？这两个定理是如何发现的？其证明方法的思想根源在哪里？是否还存在其他的证明方法呢？所有这些教材中没有但却能够触动学生思想的问题，使得学生在探讨的过程中对于正弦定理的内涵与外延建立了更好的理解. 环节1中两个问题所涉及的诸如边边之间、角角之间以及边角之间的关系都是学生原本就有的旧知识. 事实上，正弦定理也就是大边对大角、小边对小角这一在Rt△ABC直接推广结论的定量化描述.这两个问题的探讨与解决中，学生对于三角形边角关系的原有知识得到了有效的回顾，同时，此结论在Rt△ABC中的直接推广也由此埋下了有力的伏笔. 环节3中的设计意图很明显，借助环节2中两个问题的思考，使得学生自然将两题的解决思路都指向直角三角形的转化，也就是通过三角形中直角三角形这一特殊现象的研究，并通过归纳猜想使 = = 这一结论得以获得，再在此基础上将这一结论往一般三角形进行推广，结论的证明在环节2的辅助铺垫下也就相当简单了.endprint