浅谈分部积分列表法的用法

杨柳

[摘 要]分部积分是针对被积函数是乘积形式的积分，分部积分公式运用比较灵活。就列表的方法对分部积分加以说明，并列举列表法适用的类型。

[关键词]分部积分；乘積列表法

[中图分类号]O172.2 [文献标识码]A

高等数学是大学一年级学生的一门专业基础课，在学习高等数学的时候总感觉到很困难。特别是学习了求导之后，学习积分。积分是求导运算的逆运算，却比求导运算复杂。常见的积分方法有直接积分法、换元积分法、分部积分法。

在被积函数是乘积形式的积分时，如果不能直接积分或者换元积分，那么一般会用到分部积分。分部积分公式。分部积分前提是要选取恰当的和函数，利用分部积分公式得到最后的结果，选取和的方法比较固定，按照“反、对、幂、指、三”的顺序依次选择，两个函数乘积的积分，顺序靠左的函数是，顺序靠右的函数是，指数函数和三角函数乘积中，和函数的选取方式任意。或者有的教材中对被积函数分类，然后直接说明每一类中和函数的选取。

1 列表法的计算规则

分布函数列表法是把被积函数分为两部分，分上下位置放置，上边是被积函数中能够求导，且越来越简单的函数，或者多次导数之后结果是0的函数；下边放置的是被积函数的另外一部分，依次对其积分，积分次数与上面的导数次数相同即可。一般地，对积分，如果函数经过多次求导，结果等于0，或者结果是，可以用如下计算方法：

对函数多次求导，对函数多次积分，然后依次用斜线连接上下两行的函数，该项的符号由左向右依次为正负相间隔，然后写出积分关系式，得到的结果中可以含有积分符号。

例1 求不定积分

解 被积函数可以看做两个函数的乘积，可以多次求导，而可以多次积分，用列表法求不定积分。

例2 求不定积分。

解 被积函数是乘积形式，但是与都不能经过多次求导而结果是0，但是它們求导之后又会回到最初的形式，也可以用列表的方法。

移项整理得.

在例1中，求导的结果最终是0，0和下面一行中的函数相乘的积分结果还是0，因此可以直接写出整个积分的结果；例2中求导两次的时候，形式仍然是，这时候得到的是一个关系式，左右两侧都含有不定积分，移项得到需要的结果。

2 列表法适用的类型

（1）适用于，， ，其中是次多项式。在用列表法的时候，可以多次求导，直至导数等于零，而都可以多次积分。

（2）适用于，，，其中，，可以求导，而可以多次积分。

（3）适用于，，任意选取需要求导的函数，求导两次之后的形式与最初相同，这时候得到关于积分的一个关系式，移项整理后就可以得到不定积分的结果，不定积分后需加常数C。

使用列表法的时候，具体要算到哪一步，根据情况而定。

3 列表法的评价

列表法的优点是：只针对函数乘积中的某一个函数多次求导或积分，消除了在应用分部积分时，既有积分又有求导的弊端。

列表法也有它的缺点：列表法有一定的局限性，对于特定的类型能取得较好的效果。但是如反三角函数与指数函数的乘积，就不能使用列表法。

[参考文献]

[1] 钱吉林.数学分析题解精粹[M].湖北：湖北辞书出版社，2009.