整体定位，分段把握

黄和悦

[摘 要] 本文结合“视图”这一案例阐述中小学数学教学应如何整体定位，给出相应针对性教学策略，从而使中小学教师在各部分知识的教学活动更具针对性、有效性.

[关键词] 视图；整体定位；分段把握；教学衔接；数学教学

中小学数学教学衔接问题是数学教学改革中常被提起的一个话题，然而各学段数学教学之间存在着一种严重脱节的现象，这种被忽略的割裂状态，致使很多学生进入新的学段之后不能适应，成绩明显下降. 新课程注重数学课程内容的衔接，这就要求教师教学必须以数学课程标准为基础，整体定位数学教育，分段把握数学教学. 其中整体定位强调数学课程在学生发展中的整体性，是从理念的视角提出的，强调数学课程在不同学段育人功能的共性；而分段把握则强调数学课程标准在教师实施中的可操作性，是从实践的视角提出的，强调数学教学在不同学段的差异性. 而只有把握了这些共性和差异性，才有利于各学段之间教学和学习的衔接. 笔者以“三视图”这一知识为例来谈谈在教学中应如何整体把握，从而实现更加有效的教学.

空间观念是学生在生活中、学习中得到数学素养发展所必需的重要内容. 空间观念是创新精神所需的基本要素，它是让学生进行丰富想象和创造思维的探究过程，是通过直观思考、二维和三维空间之间转换的过程. 空间观念最基本的要求是让学生能够从实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物，能实现几何体与三视图的互相转化. 几何中的三视图是工程制图、机械制图等的基础. 三视图要求学生从三个不同方向观察同一个几何体，再画出平面图形：主视图（正视图）、俯视图、左视图（侧视图）. 人的视线正对着物体看过去，将所看到物体的轮廓用正投影方法画出来，这个图形就是视图. 事实上，几何体与三视图之间的相互转化就是进行思考的过程，也是实际操作的过程，这就是课程标准提到的“能根据视图条件作出立体模型或画出图形”. 总之视图内容在基础教育的不同学段中的设计与实施，是螺旋式上升、逐步深入、循序渐进的，是从整体到局部的认识过程，是符合学生的认知规律，使学生的空间观念从直观感知到理性思维的过程.

空间观念是抽象的，它需要借助各种数学教材、活动中的内容、题材等背景来呈现. 在三视图的教学中为了培养和发展学生的空间观念，新课程、新教材中不仅在三视图的要求上增加了一些新的标准，而且在课程内容上做了相应的安排，加强了与培养空间观念有关的内容，提出了一些新的具体目标.

值得指出的是，在过去的数学教学中，视图这方面的知识内容往往是被忽視的，有些教师甚至是直接让学生自学或是几节课并成一节课来完成，很不重视这部分内容的教学. 其一是形如这样的内容它不那么系统，不好用定义、定理、公式、命题、性质等形式来进行教学；其二是它不那么好教，在这里很严密的逻辑也很难用“灌输”的方法来教学；其三是因为这样的内容不那么好考，它一定需要学生经历动手实践到理性思维的探究过程，这就需要学生通过观察、思考、交流、模拟、尝试等环节，甚至还要争论、辩论，要在生活环境中体验、实验，这也是许多命题者感到困惑的地方，不好在试题上来体现这些内容、方法，所以许多学生也认为这方面内容简单好考，就不太重视了.

教材中对三视图的内容采取了螺旋式上升的方式进行编排，笔者在本文的小学阶段和初中阶段分别以人教版和北师大版义务教育课程标准实验教科书为例.

1. 观察物体（一）（二年级上册）

教材分析：这里是学生第一次接触观察物体的内容，对于位置关系的“相对性”问题还不是很熟悉，特别是左、右的相对性更是学生学习中的难点. 为了避免上述问题成为学生观察物体的障碍，教材在编排中暂不介绍“前面、后面、左侧面、右侧面”等概念，只要学生能用连线、标序号等方式将观察者与所看到的形状图对应起来即可. 所设计的例题和习题，应遵循儿童认知发展规律，从直观观察经验的运用到间接观察经验的提取，逐步提高对学生空间想象力的要求.

教学策略：教学中可以让学生进行小组合作，一名学生拿出一件物品，另一名学生则从不同的方位进行观察，并从不同方位进行拍照或简单画出来. 然后根据照片或图画，让第一位同学判断是从哪个方位拍的或画的. 在现在的日常课堂教学中，教师完全可以利用手机在教室内现场拍摄同学们上课的照片，最好是围绕着某一位同学，分别从东西南北各个方向拍摄. 而后，用数据线马上连接教室中的电脑，在文件夹中的照片往往没有明显的顺序标志，将这些照片拷贝到桌面，让学生现场判断哪张照片是在什么位置拍摄的，并说出判断理由. 这种方案更富有现实性，能有效激发学生的课堂参与度. 其中，判断哪张照片是在哪个位置拍摄的，其实就是在做空间推理，这是非常好的空间观念的培养过程. 当然也可以让学生用3～5个小正方体积木拼出一个自己喜欢的立体图形，再从不同方位去看，将在不同方位看到的平面图形与同学交流；还可以让学生判断当看到立体图形的一个面是长方形，那么它可能是我们学过的什么立体图形.

设计意图 通过运用多种方式帮助学生建立清晰的图形表象，由物到形，抽象出立体图形到平面图形的转化过程，又经历由形到物，则进行了从平面图形到立体图形的转换. 这些方法为后续学习三视图奠定了基础.

2. 观察物体（二）（四年级下册）

教材分析：本单元知识是在第一学段学习了从不同角度观察实物、几何体的基础上学习的. 主要内容有：从不同的方位辨认、观察几何组合体的形状；从同一方位观察不同的几何组合体. 这些内容都是后续进一步学习的基础，对于培养学生的空间想象力和推理能力有重要的作用.

教学策略：一般说来，低学段的学生要对空间图形及其关系有深刻体验，常常要通过与平时生活有关的实际情境来认识和理解与空间观念有关的知识，进行观察、动手操作是他们学习视图相关内容的主要途径. 在学习视图中学生进行观察、动手操作等活动，它不仅需要学生的视觉、听觉、触觉多种感官直观思维，同时也需要学生的猜想、分析、推理等理性思维，从而很好地促进学生空间观念的形成和发展. 所以在本单元教学中可进行以下环节开展小组合作课堂活动：（1）自由拼搭，让不同学生用一样的小正方体积木拼搭出各种不同的组合体；（2）互换画图，另外的同学根据前面拼搭的组合体画出从前面、上面和左面看到的形状，帮助学生建立从不同方位看到的物体形状的表象；（3）情境拼搭，再让其他同学根据前一位给出的从不同方位画出的图形，用小正方体积木把它拼搭出来，并和第一个同学拼搭的组合体进行对比修正.endprint

设计意图 通过这种形式让学生经历从立体图形到平面图形和从平面图形到立体图形的转化过程，能够让学生的空间观念得到更加有效的培养和提升.

3. 观察物体（三）（五年级下册）

教材分析：这单元的知识是在前两个学段经历了从不同方向观察实物和单个立体图形以及几何组合体学习的基础上，学习根据从一个或多个方位观察到的平面图形拼搭出相应的组合体. 例如由给出的从一个方向看到的平面图形，用给定数量的小正方体摆出相应的组合体，或由给出的从三个方向看到的平面图形，用小正方体拼搭出相应组合体.

教学策略：教学中应引导学生自主活动与探究. 可出示问题1：请你用6个一样的小正方体，拼搭出从正面看是如图1的图形. 让学生拿出6个小正方体，根据自己的理解，用手中的6个小正方体先摆一摆，而后仔细观察正面，验证自己的摆法是否正确，最后和同桌及全班进行交流. 形成认识后，教师可以追问：如果增加1个同样的小正方体，保证从正面看还是4个正方形，你还会摆吗？这样设计的意图是通过学生的操作和交流，让他们发现只看一个面摆小正方体的方法是多样的，同时体会不同方法的内在联系. 最后增加的追问，让学生由依赖几何直观逐步过渡到空间想象. 通过参与这些活动培养学生观察发现、联系比较、分析推理、归纳概括的能力，获得基本的数学活动经验. 再出示问题2：如图2分别给出从正面、左面、上面看到的图形，你能用小正方体摆出原来的形状吗？

设计意图 在学生动手拼摆、验证交流的过程中，讓学生明确根据观察到的三个面摆小正方体的方法是确定的，体会还原过程的多样性，以及最后结果的确定性，注意引导学生由几何直观过渡到空间想象与分析推理.

4. 从三个方向看物体的形状（七年级上册）

教材分析：北师大版教材把“丰富的图形世界”作为进入初中阶段的起始章节，是学生在小学积累了一定的图形与几何方面的知识和经验的基础上，让学生通过观察、猜想、探究、思考、动手操作、合作交流等活动，更深入地从特征、关系等方面认识视图，从而更好地发展学生的空间观念. 其中“从三个方向看物体的形状”通过让学生从不同方向看几何体，识别和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体所得到的形状图，力图从视图角度体会平面图形和几何体之间的转化来发展空间观念.

教学策略：教学中教师应慢慢让学生从实物操作到无实物操作过渡，从而实现从对实物具体操作到对图形抽象思考的学习方式的过渡.

可出示问题：图3是由若干块小正方体积木堆成的几何体，分别从正面、左面、上面观察这个几何体，并画出看到的图形.

变式1：由几个一样的小立方块搭成一个几何体，从上面观察它，看到的图形如图4，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数. 请你画出从正面、左面看到的这个几何体的图形.

变式2：由几个一样的小立方块搭成一个几何体，如图5是从三个不同方向看到这一几何体的视图，你能根据它们算出小立方块的数量吗？

变式3：由几个一样的小立方块搭成一个几何体，如图6分别是从它的正面、上面看到的形状图，问：这样的几何体是否只有一种？若不是，则搭建它最少需要多少块小立方体？最多需要多少块小立方体？并请你画出小立方体最少与最多时从左面看到的图形.

设计意图 问题及变式1就是从正向角度但又摆脱了低学段具体情境和具体实物，让学生经历从直观到抽象、从三维空间到二维平面的过程，提高学生的想象力. 而变式2及变式3则是从逆向角度来体验从二维到三维的相互转化关系，让学生初步感受给定三个方向的视图可以确定立体图形，只给定两个方向的视图则立体图形就不唯一. 通过这种逆向思维从不同的角度、不同的侧面去理解视图、把握视图，让学生逐步由小学的直观阶段向初中抽象阶段转化，这更是需要学生逐步进行演绎和论证的过程.

5. 视图（九年级上册）

教材分析：根据课标的要求，义务教育阶段学习投影与视图，投影是一个抽象的数学概念，视图则是与平行投影有着密切联系的概念. 在小学和七年级，学生经历了从不同方向观察物体的活动过程，能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图，又学习了平行投影和正投影. 在此基础上，从想象物体的正投影入手，引入视图的概念，从学生的生活经验出发，先让学生由实物抽象出几何体（这就不再像七年级学习视图时只研究由小立方块组成的几何体一样），会画圆柱、圆锥、球、直棱柱及其简单组合体的视图，并会根据视图描述简单的几何体，进一步研究二维与三维图形的联系与转换，发展学生的空间观念. 当然投影是视图的基础，而物体的视图则是物体的一种特殊的平行投影，所以不论是由几何体画出视图，还是由视图想象出几何体，都可以用投影原理进行思考，这也为高中学习空间几何体的三视图埋下了伏笔.

教学策略：培养空间观念需要学生参与大量的实践活动，以被动听讲为主要教学方式对形成和发展空间观念是不利的，在教学过程中，应精心设计教学过程，组织学生开展操作与观察、演示与想象、直观与推理、分析与综合、思考与交流等活动. 可设置如下问题：

问题1：如图7是一个长方体，上下有一个穿透的圆柱形，画出它的三视图.

设计意图 让学生明确画一个几何体的三视图要做到：①要让自己的视线与观察面垂直，这样得到的图形是该面的正投影；②画图时要用实线表示看得到部分的轮廓线，用虚线表示看不到部分的轮廓线，这与七年级学习的是不一样的；③按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

问题2：两个三棱柱的底面均为等边三角形，它们的俯视图分别如图9所示，画出它们的主视图和左视图.

设计意图 让学生在解决这些问题的过程中，更加理性与深刻地理解几何体与其视图之间的关系，从而使学生的空间观念更加系统和科学. 如果学生直接画视图有困难，那么可以借助实物或模型来完成. 让学生在思考与交流中明确俯视图无法反映几何体的高度，所以答案是不唯一的. 可建议学生先自己选定一个高度，然后据此画出棱柱的主视图和左视图，再让不同学生之间进行对比研究.

问题5：先想象一个几何体并画出它的三种视图，然后请同伴根据你画出的三种视图描述出这个几何体.

设计意图 问题3～5分别让学生由视图辨认几何体、根据三种视图描述对应的几何体、自己想象几何体并画出三视图让别人来描述几何体，通过这些操作或想象活动，探讨如何根据视图描述简单的几何体，是一组有难度、有梯度的问题，可以深化学生对几何体及其三种视图的理解和认识.

总之，教材中像视图这样注重中小学衔接的课程内容是很多的，许多知识是根据学生的年龄特征、认知规律与学习特点，在整体编排、呈现形式、学习方法等方面遵循逐级递进、螺旋上升的原则，对同一类型的知识前一学段出现是为后一学段继续学习打基础、做渗透，而后一学段再次出现则是对前面所学内容的深化与拓展. 所以从整体上定位相同知识的完备性是必要的，这是从宏观角度来要求. 又需要老师分段来把握相同知识，做到不降低了也不超过了，这是从微观角度来要求. 只有这样才能让我们的教学、练习、作业、命题、评价等更具针对性和有效性. 这种衔接其实不仅仅是知识的衔接，更重要的还有意识上和经验上的衔接.endprint