刘 刚 赵 毅
(北京市第十二中学高中部,北京 100071)
探究一道高考三角形面积最值试题的解法
刘 刚 赵 毅
(北京市第十二中学高中部,北京 100071)
2013年高考福建数学文科第21题考查了一道以等腰直角三角形为背景,求内接三角形面积最值问题.试题既要立足图形,分析图形特征,又要借助代数运算求解,是一道典型的数形结合的题目.试题解法灵活,使不同学生有了更多的选择,体现了新课标理念.
高考;等腰直角三角形;面积最值
课题项目:本文系北京市丰台区“十三五”重点课题《新课程背景下高中数学竞赛教学研究》(课题批准号:2016237-J)阶段成果之一.
图1
(Ⅱ)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,ΔOMN的面积最小?并求出面积的最小值.
(Ⅰ)略.(Ⅱ) 设∠POM=α,则0°≤α≤60°.具体解法如下:
分析1 在△OMP与△ONQ中分别利用正弦定理表示出OM,ON,然后借助两边及夹角的三角形面积公式表示出三角形的面积,运用两角和公式及二倍角公式进行三角恒等变换,最后分析三角函数的性质求得最值.
解法1直接表示△OMN的面积
分析2 由于MN在等腰直角△POQ的斜边PQ上运动,所以过点O作PQ的垂线段OR构造直角△RON、△ROM,利用锐角三角函数分别表示RN,RM,在此基础上就可以表示出MN,然后借助基本不等式进行求解,解题过程体现了分类与整合、数形结合的思想方法.
解法2化斜为直表示MN
过点O作OR⊥PQ于点R,则点R是PQ的中点,OR=2,设∠ROM=β.
图2
(ⅰ)如图2,当点M,N在点R两侧时, 则0°<β<30°,所以∠NOR=30°-β.在Rt△RON中,NR=2tan(30°-β),在Rt△ROM中,MR=2tanβ,所以
MN=2[tan(300-β)+tanβ]
图3
分析3 在△OMN中先利用面积表示出两边OM,ON之间的关系,然后利用余弦定理表示出MN,最后借助均值不等式进行求解.
解法3均值不等式法
分析4 本题是一道动态中的三角形面积最值问题,有不少学生都能直观猜出当∠POM=30°时△OMN的面积最小,但是为什么最小,一些学生并没有进行证明,造成了不必要的失分,当然跟不会证有关.实际上以∠POM=30°时的△OMN为基准,证明在其它位置时三角形的面积都大,即MN都长即可,证明过程中要结合正弦定理以及三角形性质进行说明.大胆猜想,小心求证是解决动态问题的常用方法.
解法4先猜后证法
猜想α=30°时,△OMN的面积有最小.如图4,设α=30°时的△OMN记为△OM′N′,此时OM′=ON′.
图4
(ⅰ)当0°<α<30°时,设∠MOM′=β,则∠NON′=β.
(ⅱ)同理可得当30°<α<60°时,MN>M′N′.
[1]刘刚,赵毅.一道高考三角形试题的多解与多变 [J].中学数学杂志,2016,5.
[2]刘刚 赵毅.一道习题的求解与拓展[J].数理天地(高中版),2016,9.
[3]刘刚.对一道竞赛三角试题的探究与变式 [J].数学通讯(上半月),2017,5.
G632
A
1008-0333(2017)22-0025-02
刘刚(1975.4-),男,大学本科,中学高级教师,从事数学教育.赵毅(1977.5-),女,大学本科,中学高级教师,从事数学教育.
责任编辑:杨惠民]