地球自转对上海自由落体运动的影响

陈琪琪

(上海市大同中学，上海 200003)

地球自转对上海自由落体运动的影响

陈琪琪

(上海市大同中学，上海 200003)

本文通过对地球自转基本理论的探讨，用近似求解方法求解偏移量的方法，对地球自转对上海自由落体运动的影响进行了相关探究.

地球自转；上海；自由落体；偏移

对中学物理所涉及问题，将地球参考系视为惯性参考系是能满足要求的.但对于跨越的时间和空间较广、要求精度又较高的工程问题，往往需要考虑地球的自转.将地心参考系视为惯性参考系，而把地面参考系视为非惯性参考系.若考虑地球自转的影响，从上海高处自由下落的物体是否沿着铅直线的方向运动.

一、基本理论

地球既有公转又有自转，所以是非惯性参考系.公转角速度很小且所产生的惯性离心力几乎与太阳引力相抵消，自转的角速度为7.292×10-5弧度/秒.虽然也比较小，但却产生了一些可以观察到的现象.考虑地球绕地轴自转时，可以认为它的角速度是沿地轴的一个恒矢量，因而只要考虑惯性离心力和科里奥利力的影响.如质点相对于地球是静止的，即v/=0，则只考虑惯性离心力的影响.当质点相对于地球有相对运动时，质点离地轴距离的变化一般都并不太大，故惯性离心力的效应(重力的量值与引力有差别)，只要用重力替代引力就可以了.因此，在研究自由落体运动时，可以只考虑科里奥利力的效应.科氏力：Fk=2mv×ω(1-1) 图(1)代表地球,一质点在半球的某点M上以速度v′相对于地球运动，M点的纬度为φ.图中竖直方向为地轴，地球自转的角速度ω沿着该轴.单位矢量i、j、k则固着在地球表面上.且i水平向南，j水平向东，k竖直向上.令转动坐标轴x,y,z与i，j，k重合，即x轴指向南方，y轴指向东方，z轴竖直向上，如图所示.

根据上面讨论可略去惯性离心力，即认为重力mg通过地球球心，则有：ma′=F-mgk-2mv′×ω(1-2)式中F代表重力以外的作用力.(此处a′和v′表示物理量而非对时间求导)因ω与i，k共面，ω=ω(-cosφi+sinφk).故得：

将(1-3)代入(1-2)，即得质点M在x,y,z三个方向得运动微分方程为：

mx″=Fx+2mωy′sinφ

假定质点M从有限的高度h自由下落，

my″=Fy-2mω(x′sinφ+z′cosφ) (1-4)

那么我们可以认为g的值不变，且重

mz″=Fz-mg+2mωy′cosφ

力以外的Fx=Fy=Fz=0.则(1-4)为：

x″= 2ωy′sinφ

运动的初试条件是：t=0时，x0=y0=0,

y″= -2ω(x′sinφ+z′cosφ) (1-5)

z0=hx0′=y0′=z0′=0

z″= -g+2ωy′cosφ

对(1-5)式积分并代入初试条件得：

x″= -4ω2sinφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

y″= 2gtωcosφ-4ω2y(1-6)

z″= -g-4ω2cosφ[xsinφ+(z-h)cosφ]

二、用近似求解方法求解偏移量

(1-6)的落体相对运动微分方程组，要得到精确解也是超出我们能力范围的.因此使用二种求法求近似解，并以上海金茂大厦楼顶(420.5米)物体自由落体为例计算落地偏移量.

1.略去ω2项法

(1-6)中出现了ω2项.但如质点自离地面200米以上的高处自由下落，则ω2项的值不会超过10-6米/秒2；而如质点运动速度在1米/秒的数量级时，科里奥利加速度2ωv′的数量级约为10-4，差100倍左右，略去ω2项(1-6)简化为：

x″= 0x=0 取ω=7.292×10-5rad/s、

h=420.5m、φ=31.233°、z″=-g

计算结果得质点只有向东的偏移：T= 9.26371s，ΔS=0.161922m.

2.逐步逼近法

注意(1-5)式方程组的三个方程等号的右侧均与ω有关，又因ω是小量，于是可将该方程组的解假设为ω的幂级数形式，采用逐步逼近的方法，可获得该方程的一次近似解和二次近似解.

则一次修正项为:ΔS1=2.83578×10-5m，ΔE=0.161922m.考虑到二次修正项为：ΔS2=2.83578×10-5+1.20918×10-9m，ΔE=0.161922m.可以看出向东的偏移明显的与一次修正的结果一致，二次修正比一次修正更为进一步的体现出了自由落体落地还有向南的偏移量,但是很小.由于空气阻力以及风力等原因，现场是难于测量出来的.如用二次修正则能得到更为精确的南偏值，作出图象如图(2)所示.

[1]王凤黎.自由落体运动教学设计[J].中国教育技术装备，2011(13).

[2]王立华.空气阻力对自由落体运动的影响[J].沧州师范专科学校学报，2000(02).

G632

A

1008-0333(2017)22-0060-02

2017-06-01

陈琪琪(1982.11-)，男，上海，中学一级，从事高中物理教学.

责任编辑：闫久毅]