引入多样情境，发展数学抽象——基于数学核心素养的“数列概念”教学设计

☉湖北大学数学与统计学学院 张素婷

引入多样情境，发展数学抽象
——基于数学核心素养的“数列概念”教学设计

☉湖北大学数学与统计学学院 张素婷

数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现.高中数学课标修订组指出，数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.其中数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征［1］.

如何在数学学习的过程中逐步形成数学素养是教学实施者关心的问题，凡是概念学习均能培养数学抽象核心素养.本文仅从数学情境这一环节以“数列概念”为例，探讨如何在课堂教学中发展数学抽象，落实数学核心素养，旨在抛砖引玉.

一、基于数学核心素养的教学要求

《普通高中数学课程标准（实验）》对数列概念教学的要求是通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数［2］.所谓了解，就是对所学知识有初步的感性认识，知道这一知识内容是什么，会按照一定的程序和步骤操作，并会模仿地利用所学知识解决简单问题.对于数列的概念而言，能由一些具体事例分析出数列的共同属性，归纳出本质属性，能用数学符号给予表征，能通过观察感知实际情境表示出数列，从而领悟数列与函数的关联与区别，能识别哪些是数列，这是一个具体-抽象-具体的过程，是形象思维到抽象思维的过渡，渗透了从特殊到一般的数学思想，故而数列概念可作为发展学生数学抽象素养良好的培养基.

二、数学核心素养的教学理论基础

众所周知，概念教学是课堂教学的重中之重，而数学概念形成的过程实则数学抽象的过程.认知心理学的观点认为，数学概念的抽象依靠抽象思维，是在对事物的数形属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出本质属性，舍弃其非本质属性，使认识从感性的具体进入抽象的规定，形成数学概念［1］.

以上述理论为依据来看数列概念教学，数列作为一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中有着广泛的应用.因此，着眼于发展学生数学抽象的核心素养，可以学生熟悉的客观世界中的特殊函数模型为载体，构建多样化的问题情境，让学生经历如下几个问题的抽象思维过程：

（1）每个问题中所涉及的量与量之间有何数量关系？

（2）能用数学的方式来表示吗？如表格、图像、通项公式（含递推公式）.

（3）能抽象出上述问题的共性吗？

（4）能概括出上述问题的本质属性，并用符号化表达吗？

在观察、分析、比较、概括的过程中发展学生的数学抽象素养，在这个过程中设计合适的问题情境显得尤为重要.数列概念虽然简单，许多教师采用“天上掉下个林妹妹”式的方法直接给出数列的概念，省去了学生抽象概括的思维过程，这无疑是剥夺了学生进行数学化思考和表达的机会.由于数列这一概念是建立在函数概念的基础之上，可从特殊函数出发，同化出数列的概念；另一方面，数列概念与数学史、数学文化密切相关，可从毕达哥拉斯学派提出的“形数”讲起，甚至还可以从生活中的数列创设情境.总之，引入多样化的情境能为数列的概念教学提供丰富的教学资源，为发展学生的抽象素养提供感性的材料.

三、多样化的情境引入

1.数学史情境

数列的概念可从毕达哥拉斯学派的“形数”讲起：毕达哥拉斯学派有一个基本的信条——万物皆数，他们认为世界万物都包含数，都能用数来解释.传说，他们经常在沙滩上用小石子摆成各种形状来研究数.

观察图1：

图1

问题1：图1是毕达哥拉斯学派用小石头摆出来的图形，你能猜一猜他们想表示哪些数吗？

问题2：你能不能尝试着再接着往后画出几个图形呢？它们分别表示哪些数？

填表：

表1 三角形数

由于1，3，6，10，15，…这些数都能够表示成三角形，他们就将其称为三角形数.类似地，他们还研究了正方形数.

活动：请大家尝试画一画正方形数的图形.看看你画的和毕达哥拉斯学派的数学家画的是一样的吗？

多媒体展示：

图2

问题3：图2中的小石头表示了哪些数？你能接着再往后写几个数吗？

填表：

表2 正方形数

问题4：请观察表1、表2中的数，这两列数有什么共同特征？

小结：像这样，按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

问题5：数列中不同的项能调换顺序吗？由此你认为数列中的每一项与什么有关？

小结：数列中的每一项都与它所在的顺序（序号）有关，排在首位的数称为这个数列的第一项（也称首项），排在第二位的数称为这个数列的第二项，排在第n位的数称为这个数列的第n项.为了研究方便，数列可以用符号表示成a1，a2，a3，…，an，…，简记为｛an｝.

可见，数列｛an｝中的每一项ak与其序号k（k=1，2，...，n，...）之间有着下列对应关系：

问题6：从上述对应关系来看，你对数列有何更深的理解？

问题7：｛an｝和an所表示的含义一样吗？

……

设计意图：本节课是数列章节的第一节课，也是概念课，需要学生经历从特殊到一般的抽象思维过程，而抽象化、符号化的数学语言难免枯燥，于是选择了融入数学史的方式作为情境引入，意在激发学生学习兴趣，活跃课堂气氛.引导学生跟随哲人的步伐，回到古希腊与古人对话，以“形数”为载体，在画图填表等活动中，逐步从具体走向抽象，用数形结合的思想方法助推建立起数学抽象，通过数列的符号化表达，进一步理解数列的本质就是函数，旨在提升数学的符号意识，进而发展数学抽象，从而获得数列概念.

2.生活情境

等差数列可从生活中随处可见的例子讲起：

你知道“麦田怪圈”吗？麦田怪圈是在麦田或其他农田上，通过这种力量把农作物压平而产生的几何图案（如图3），这个麦田圈是由一组同心圆构成，最里面的圆半径为1m，其他的圆半径

依次增加1m.那么，同心圆半径由内向外依次排成的数列是什么数列？由小到大的同心圆周长依次排成的数列是什么数列？

图3

生活中还有许多这样的数列，你能举出这样的例子吗？

①下面小张双十一在淘宝上买鞋时的尺码（单位：cm）：

22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5.

②在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：

1682，1758，1834，1910，1986.

③武汉剧院的双号座位号：

38，40，42，44，46，…

④第一届奥运会始于1896年，此后每四年举行一次：

1896，1900，1904，1908，1912，1916，…

问题1：请观察上述数列，它们有什么共同特征？

小结：像这样，如果一个数列从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，通常用d来表示.

问题2：怎样用数学符号表示等差数列的特征？

问题3：你能概括出什么是等差数列吗？

问题4：分别作出它们的图像，说说图像有什么共同特征？

设计意图：能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，观察归纳，建立等差数列模型，让学生继续感受数列的函数特征，并进一步理解数列作为函数的特殊性，将等差数列与一次函数进行类比.

3.故事情境

等比数列的概念可从一个流传已久的故事说起：

在古代，有一个聪明的大臣发明了国际象棋，国王想要奖励他，然而大臣却只想要一些麦子，他说：请陛下在棋盘的第一个方格放1粒麦子，第二个方格放2粒麦子，第三个方格放4粒麦子，…以此类推，直到第64个方格.

问题1：麦子数形成的数列1，2，4，8，16，…有何特点？

然而，数学概念的形成需要大量的实例反复感知，仅有这一个数列无法发现出等比数列的本质属性.因此，笔者对这个故事情境进行了续集改编，从而得到另一个常见的等比数列：

棋盘事件让国王颜面尽失，但国王非常好学，通过学习，他对这种数列有了新的认识，于是他又召见了大臣，说：“我很遗憾国库里没有这么多麦子，但我这里有一根1米长的金手杖，我决定在10天之后把它赏赐给你，但从今天起，我每天要拿走金手杖的一半.”［3］

问题3：这两个数列有什么共同特征？

问题4：通过观察，比较，你能归纳出等比数列的特征吗？

问题5：你能类比等差数列的定义，概括出等比数列的概念吗？

设计意图：通过这个喜闻乐见的故事，激发学生的学习热情，让学生在“新、奇、趣”的情境中感知等比数列的本质特征，进而引导学生用抽象化、符号化的语言概括出了等比数列的概念.此前学生已经学习了等差数列，因此这里概念的形成完全可以类比等差数列，可进一步理解概念与概念之间的联系，在学习中化繁为简，形成一般性的思考问题的习惯，这也是数学抽象核心素养的培养目的之一.

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，它能帮助学生用数学的眼光看待问题，用数学的思维分析问题，用数学的语言表达问题［4］.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.本文试图从情境引入环节精心设计教学来寻求发展学生数学抽象核心素养的途径，如何更有效地发展数学抽象核心素养是可继续研究的方向.

1.章建跃.树立课程意识，落实核心素养［J］.数学通报，2016（5）.

2.中华人民共和国教育部：普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社2003年版.

3.杨玉东，王兄.运用关键性教学事件分析支撑中国式数学课例研究［J］.数学教育学报，2015，24（3）.

4.彭翕成.例说数学核心素养［J］.教育研究与评论，2016（5）.