微分算子第二特征值的上界不等式

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

应用数学

微分算子第二特征值的上界不等式

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑微分算子第二特征值的上界不等式的问题。 利用试验函数、多次分部积分、Rayleigh定理、Schwarz不等式与Young不等式等，得到用微分算子的第一个特征值来估计第二个特征值的不等式，其不等式在物理学和力学中应用广泛，在微分方程的理论研究中有重要的作用。

微分算子；特征值；特征函数；上界；不等式

Abstract：This paper considers the inequality of the upper bound of second eigenvalue for the differential operator. The inequality of the upper bound of second eigenvalue is deduced from first eigenvalue by using testing function， Rayleigh theorem，multiple partial integration，Schwarz inequality and Young inequality. The result is widely used in physics and mechanics，and it plays a significant role in the research of differential equations.

Keywords：differential operator；eigenvalue；eigenvaluefunction；upper bound；inequality

设(0，1)⊂R 是一个有界开区间，考虑特征值问题

式中：D-1y=0，D0y=y，k=1，2，…，s，s＞t≥1是任意整数；p( x)∈ Ci[0,1]，i=t+1，t+2，…，s；iq( x)∈ Ct[0,1]，还满足条件

式中：0＜μ1≤μ2；0＜v1≤v2。

当s＞t≥2时，问题(1)特征值的上界估计已有一些结果[1-5]。在本文中，考虑微分算子(1)并且左端的最低导数阶数比右端的导数阶数恰好高二阶的问题，且s＞t≥1，这个问题是文献[1]的推广。 运用文献[6]中的方法，对于任意整数s＞t≥1的微分算子，得到了问题(1)的用第一特征值来估计第二特征值的不等式，其结果在微分方程的理论研究和力学的应用中起着重要的作用[7]。

定理1 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，当时，则有

定理2 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，当时，则有

注 如果取s=t+1，a=0，b=1，得到文献[1]中的(1.4)和(1.5)，即

当时，

所以文献[1]的结果是本文中的一个特例。

1 定理的证明

设λ1是问题(1)的第一特征值，相应于λ1的特征函数为y1，简记y=y1，且满足

利用t次分部积分和式(6)，得

利用s次分部积分和式(7)，有

利用式(2)和式(8)，得

利用式(3)和式(7)，有

利用分部积分，直接计算得

利用Rayleigh定理，得

计算得

利用分部积分和φ(x)=(x-d)y，有

由式(13)和式(14)，得

利用式(15)，有

利用式(12)和式(16)，得

引理1 设y是问题(1)所对应的第一特征值λ1的特征函数，则

证明 对于(a)，参考文献[4]。

对于(b)，反复运用引理1(a)和式(10)，得引理1(b)。

引理2 设y是问题(1)所对应的第一特征值λ1的特征函数，则

证明 对于(a)，用数学归纳法证明，当r=t时，利用式(10)，不等式显然成立。

当r=k+1时，利用分部积分、Schwarz 不等式和归纳假设，得

化简整理，有

即引理2(a)成立。

对于(b)，反复运用引理1(a)和式(10)，得

即得引理2(b)。

引理3 设y是问题(1)所对应的第一特征值λ1的特征函数，则

(b)式中δ是任意正实数；

式中δ是任意正实数。

证明 对于(a)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)、式(3)和式(7)，得

整理后得引理3(a)。

对于(b)，利用Schwarz 不等式、引理2(b)和Young不等式，有

式中δ是任意正实数。

对于(c)，当t≥2时，利用Schwarz不等式、引理1(b)、式(3)和式(7)，得

对于(d)，在引理2(b)中，取r=i-1，利用式(2)，得

对于(e)，利用Schwarz不等式、式(2)、引理2(b)和引理3(b)，得

式中δ是任意正实数。

引理4 设λ1是问题(1)的第一特征值，则

式中δ是任意正实数，且

证明 利用分部积分和ϕ(x) = (x − d) y，得

当t=1时，

不论当t=1时，或者当t≥2时，可得

利用式(18)、式(19)、式(20)和式(21)，有

利用式(22)和引理3，得

式中δ是任意正实数，且

引理5 对于φ(x)与λ1，则

证明 利用分部积分和φ(x)=(x-d)y，得

利用式(23)，有

利用式(10)和式(24)，得

在引理2(b)中，取r=t+1，利用式(10)、式(25)和Schwarz不等式，有

整理，可得引理5。

定理的证明：利用引理4和引理5，由式(17)，得到

式中δ是正实数，且满足为了使式(26)的右端取到最小值，可以适当选取正实数δ，由于以，当时，取即可得到定理1的式(4)。当取即可得到定理2的式(5)。

[1]陈静，钱椿林.任意阶微分方程第二广义特征值的上界估计[J]. 江苏广播电视大学学报，2006(3)：43-45.

[2]卢亦平，钱椿林.高阶微分算子带权的第二特征值的上界估计[J].长春大学学报(自然科学版)，2010，20(6)：4-7.

[3]卢亦平，钱椿林.一般混合微分系统第二特征值的上界估计[J].苏州市职业大学学报，2016，27(4)：27-34.

[4]卢亦平，钱椿林.微分方程带一般权的第二特征值的上界估计[J].长春大学学报(自然科学版)，2009，19(10)：7-9.

[5]《现代应用数学手册》编委会. 现代应用分析卷[M]. 北京：清华大学出版社，1998.

[6]HILE G N，YEN R Z. Inequalities for eigenvalue of the biharmonic operator[J]. Pacific J.Math，1984(1)：115-133.

[7]PROTTER M H. Can one hear the shape of a drum? [J].SIAM Rev.，1987(2)：185-197.

(责任编辑：沈凤英)

The Inequality of the Upper Bound of Second Eigenvalue for the Differential Operator

ZHAO Xiaosu，QIAN Chunlin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

O175.1

A

1008-5475(2017)03-0043-07

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.03.009

2017-03-30；

2017-04-28

赵晓苏(1962-)，女，江苏苏州人，副教授，主要从事算子特征值估计研究。

赵晓苏，钱椿林. 微分算子第二特征值的上界不等式[J].苏州市职业大学学报，2017，28(3)：43-49.