反例在数学教学中的作用

杨静梅

摘 要：在数学发展史中，反例与证明有着同等重要的地位。尤其是在判断事物的真假时，起着十分重要的作用。反例在数学教学中也有着十分强大的作用，能使学生正确全面的理解数学概念；加强发现问题、纠正错误的观念；理解并掌握数学中的定理、性质；与此同时，加深了对公式、法则的正确理解并灵活运用。同时，反例教学对学生思维的培养也有着巨大的作用，能使学生的思维更灵活，有利于培养学生思维的创新能力，有利于培养学生的发散性思维。因此，在数学教学过程中可以适当地运用一些反例来辅助教学。本文围绕这个热点话题，就数学教学中反例的作用作了探讨。

关键词：反例；数学教学；作用

1、引言

在数学教学过程中，我们通常会应用反例。那么反例在教学过程中有什么作用呢？本文的写作目的在于研究反例在数学教学中的作用。研究反例在数学教学中的作用有利于解决如何提高教学效率，有利于解决如何提高学生的解题能力，还有利于解决教学中的一些难题。反例在数学教学中有着十分强大的作用，能使学生正确全面的理解数学概念；加强发现问题、纠正错误的观念；理解并掌握数学中的定理、性质；与此同时，加深了对公式、法则的正确理解并灵活运用。

2、反例在数学教学中的作用

在数学史上，有几何三大难题，一是三等分角：将一个已知的角分成三等分；二是立方倍积：已知一个立方体，使它的体积恰好等于原来体积的两倍；三是画圆为方：已知一个圆，求作一个正方形，使正方形面积和圆的面积相等。限使用直尺和圆规进行上述三个问题的几何作图，这是二千四百年前古希腊人提出的著名几何三大难题。两千多年来，不知多少数学家被这三个问题难倒了。许多人钻研它从年少到了白发，结果无一取得成功。这样人们悟及正面的结果既然无望，便转而从反面怀疑问题的不可能性。直至1637年，笛卡尔发明了解析几何，使尺规作图可能问题有了解析判别标准，才为构成反例开辟了新的途径。过了两百年，到1837年，闻脱兹尔证明了三等分任意角，立方倍积用尺规作图的不可能性。德国数学家林德曼于1882年证明了圆周率是超越数，从而证明了化圆为方问题是尺规作图不可能问题，至此几何三大难题之谜才被揭开。因此，人们发现一些难题从正面无法解决的时候，我们应该从反面思考，寻找反例来解决问题。由此可见，反例的作用是十分强大的。

2.1 正确全面地理解数学概念

在对数学的概念进行学习时，不仅要运用证明的例子对概念进行深刻地理解，而且还要运用适当地反例，从另一个方面对概念的本质进行分析，使学生对数学概念有更进一步的理解，从而更深刻地理解和掌握概念。

例1关于函数的概念时，可能就是简单地认为就是：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了纠正这一错误的认识，可以举下面几个例子。

人的体重随着身高的变化而变化，但是人的体重不是由身高唯一确定的所以人的体重和身高变化的相依关系不是函数关系。

一块棉花地的产花量随着施肥量的变化而变化，但是，棉花产量不是由施肥量唯一确定的，所以产花量不是施肥量的函数关系。y=sin2x+cos2x。

当x取不同值时，y有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，但不论x取什么值，y的值始终不变（等于1）。y=（x+2+x）（x+2-x）也是函数，但不论x取什么非负数，y的值始终保持不变（等于2）。

说明：学习数学概念时，要抓住它的本质属性，y是x的函数。并不一定要求y随x的变化而变化，由以上反例看到：对变量x的每一确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是函数概念的本质属性。

教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，往往容易让学生对一些关键的词语认识不够，对所给的条件理解不透彻，就不能够抓住它的本质，而只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。

2.2 加强发现问题、纠正错误的观念

在解题过程中我们容易出现差错并且不容易被发现和纠正。对此，可以引入适当的反例，通过让学生进行讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。

例 2概率的加法定理

P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An），（A1，A2，…An）

必须彼此互斥，往往会出现一些问题，让我们一起来看一个反例。

将一个之地均匀的正方体玩具的六面依次编号1、2、3、4、5、6。现做抛掷这个正方体的一次实验。设A：奇数向上的事件；B：奇数不超过3的事件。显然，事件A、B不互斥，因为出现1点和3点都表示A與B同时发生。因为事件A+B包括四个结果：出现1点、2点、3点和5点。所以P（A+B）=46=23。而P（A）=36=12，P（B）=36=12。显然23≠12+12，即P（A+B）≠P（A）+P（B）这样可以清楚的认识到这样做是错误的，以及错误的原因（A1，A2，…An，必须彼此互斥）从而更加深刻理解（A1，A2，…An必须彼此互斥）的条件。

2.3 理解并掌握数学中的定理、性质

我们在学习一个新的定理、性质时，容易忽略定理、性质中的关键词语，从而容易造成解题的错误。所以在实际教学中为了克服这一现象，教师要善于构造反例，来帮助同学们牢记住定理、性质中的关键词语，以达到正确理解并掌握定理、性质。

例3定理：三角形任何两边的和大于第三边。推论：三角形任何两边的差小于第三边。注意：“任何”二字不可忽略。否则有时不能构成三角形。如若已知三条线段a=1，b=2，c=4，显然线段a、b、c不能构成一个三角形。

2.4 加深对公式、法则的正确理解并灵活运用

我们在学习有关公式、法则时，会容易忽略掉这些公式、法则的运用范围，从而在使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，造成错误。因此，在教师教学中中不仅要向同学们讲清、交代公式、法则的适用条件，而且还要适当引用一些反例，加深他们对这些公式、法则的理解以便达到有效的掌握。endprint

2.5 提高否定错误命题的能力

判断一句话（或一种理论）的真假，首选的方法就是构造反例。这是由反例自身的特点决定的。它具有直观、简明、清晰、说服力强等特点，因而在澄清是非，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。

数学中有些问题，若从正面来理解的话，同学们往往难于理解，有些还会产生错误的判断，为了使他们能够正确的判断问题的真假，因此在实际教学时应突出反例，通过借助反例来提高辨别错误命题的能力。

例 5 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。但是，“若直线a平行直线b，b在平面M内，则直线a平行于平面M”的命题不真。因为有a在平面M内的情况存在。

反例的功能是十分强大的，通过上面简单探讨，不难看出它是理解数学概念的有力工具，也是纠正错误的有效方法，还是强调条件的得力措施，更是否定谬论的锐利武器。

3、结论

数学是思维的体操，特别是反例能够培养发散性思维和创造性思维。在教学过程中，教师要注意培养学生提出问题的能力，学生提出问题的时候，教师应给予肯定并积极解惑。在学习某些定理和定义的时候，对于它们的适用范围和限制条件要引导学生大胆的猜测。让学生自己提出问题，进行猜想，得出结果，让反例发挥其强大的作用。这样有利于培养学生的创新力，从而进行探究式学习，可以大大地提高教学质量。因为反例的存在，能够优化解题过程，加快解题速度，提高解题能力。因此，教師在教学时，要注意培养学生的解题能力以及运用反例的能力。

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（作者单位：曲靖师范学院数学与统计学院，云南 曲靖 655011）endprint