运用转化与化归 巧求取值范围

王建宁

【摘要】转化与化归思想是高中数学中的重要思想方法之一，它是学生将未知领域的问题转化为已有的知识体系进而解决问题的关键。教师在教学中应当不断加强转化与化归思想的渗透和培养。文章结合两道习题再现了这种数学思想的重要性。

【关键词】转化与化归思想；线性规划；取值范围

转化与化归思想是高中数学中的基本思想方法之一，这一重要的数学思想在学生学习过程中能将新旧知识联系起来，在应用已经掌握的知识和方法来解决新问题的过程中不可或缺，它是培养学生创新能力的关键。因此在高中数学教学中要不断加强转化与化归思想的渗透，使学生面对很多实际问题适时划归，突破难点，运用学过的知识高效快捷准确的解决问题。而线性规划问题是高中数学的基础内容，面对的问题多以最值问题呈现，实际生活中总有利润最大、风险最小、产量最高等实际问题与之对应。

下面我将结合自己在教学实践中遇得到两个例题谈谈转化与化归思想在线性规划中的体现、应用及渗透。

在高一数学中有这样一道题目：已知且，，求的取值范围.

当时已经学习了不等式的相关性质，学生很快根据已知条件分别求出了a与b的取值范围.

即由，可得

，

所以

即的取值范围为.

学生做完之后，教师问了一句“对吗？”一部分学生很快进行了检查在确定没有运算错误的前提下十分自信地点了点头。但是教师在黑板上给出了如下解题过程：

设

由2x+y=1，-x+y=-5可得x=2，y=-3

所以

由可得

所以

即a-5b的取值范围为.

显然，学生求解的范围变大了，为什么呢？基于学生在高一的认知水平和知识体系，只能对学生解释：这里的两个变量是相互制约的，当a变大时，b相应地要变小，才能使不等式成立，也就是说不能同时取到最大值。比如时，如果，那么显然与相矛盾。学生好像有所理解，但是对学生而言，初次接触这类题目，感觉解法好奇怪，还很难上升到道理性认识。

时间转眼到了高二，教学过程中遇到了这样一道习题：设等差数列的前n项和为，若，求的取值范围.

有部分学生给出了如下解决方案：

数列是等差数列，设其首项为a1，公差为d

则，

由题可知

分别求出

因为

又

即.

此时，另有一部分学生对这种解法提出疑问，曾经在高一时讲过的一个例题和这道题很相似并且通过查阅错题本很快找到了前面的习题，给出了这种解法存在的问题：a1与d相互制约而不能同时取得最大值。然后给出了下面的解法：

解：因为数列是等差数列，设其首项为a1，公差为d

则，

设

可得

解得

得到

所以的取值范围是.

至此，相信大多数学生对这类习题都有了较为深刻的认识，将习题2划归到习题1的解法上，只是提出问题的形式有所不同，但考察的实质相同。这就要求学生在解题过程中运用转化的思想将问题划归到能解决的已知问题上，而不是受惑于问题的表象和字母的选取与表现形式。此刻学生情绪高涨，问题解决到这里也很完美。但是与高一相比，学生已经学习了线性规划的相关知识，因而可以将这道习题再做如下探讨：

观察已知条件：题中给出的取值范围，相当于告诉我们，求的取值范围.

问题可看成在线性约束条件①下，求目标函数的取值范围.

引导学生给出由约束条件①确定的平面区域为平行四边形（如图）：

由图可知目标函数在点处取到最大值，；在点处取到最小值，

所以的取值范围为.

与上面的结果相同，可谓殊途同归。运用转化与化归的思想将这个问题划归到线性规划的方向上，确定可行域，进而求出目标函数的最大值与最小值，确定S9的取值范围，是求解此类问题的又一个方向，既体现了一题多解和一题多变的思想，又充分体现了数形结合思想，在渗透数学思想，提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的数学素养方面都能取得良好的效果。

而且通过求解过程还可以看到前面先分别求出a1与d范围再求出的取值范围出错的原因。由作为约束条件得到的是平面区域为矩形，目标函数最值在点和点处分别取到，即，所以.

显然可行域发生变化是本题产生错误的最根本原因。如果此时再让学生将错题本上的习题1运用线性规划的知识重新求解，绝大多数学生都能顺利完成，而且结合图形能分析出分别求出a和b的范围而出错的原因，从而对这道曾经的遗留问题产生新的认识，正是“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”。

当然，转化与化归思想在高中数学中非常常见，正是这一经典的数学思想引导学生将未知领域的問题不断划归到已知领域，利用已有的知识解决新问题。教师在平时的教学过程中要不断加强这一数学思想的渗透，才能不断提升学生的数学素养，培养学生的应用创新能力。endprint