弹簧连接两物体能共同做匀加速运动吗

郑 金(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

弹簧连接两物体能共同做匀加速运动吗

郑 金
(凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500)

利用多种方法对有关弹簧连接的两个物体即弹簧双振子直线运动问题进行定性分析和定量解答，探究了弹簧双振子在两种不同受力条件下的运动形式及规律.

弹簧连接体 匀加速运动 非惯性系 简谐运动

常见一些有关弹簧两端连接两个物体在外力作用下一起做匀加速直线运动的错题，而这种物理情境是难以实现的.对于由轻弹簧连接的两个物体的直线运动按受力情况可分为两种：其一是弹簧连接体中的一个物体受到恒定动力的作用，则系统的质心做匀加速直线运动；其二是弹簧连接体中的一个物体受到动力的作用而做匀加速直线运动.这两种情形的弹簧连接体不可能共同做匀加速直线运动.下面分别进行探讨.

1 弹簧连接体的质心做匀加速运动

若其中一个物体受到恒定动力的作用，则系统的质心做匀加速直线运动，那么质心可视为非惯性系.两个物体相对于系统的质心做简谐运动.通过定性分析每个物体的受力变化情况，根据牛顿第二定律判断加速度变化情况，可大致画出速度图像.

【例1】(2009年高考江苏卷)如图1所示，两质量相等的物块A和B通过一轻质弹簧连接，B足够长，放置在水平面上，所有接触面均光滑.弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内.在物块A上施加一个水平恒力F，在A和B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有( )

图1 例1题图

A.当A与B加速度相等时，系统的机械能最大

B.当A与B加速度相等时，A,B的速度差最大

C.当A与B的速度相等时，A的速度达到最大

D.当A与B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

解析:图2所示为光滑水平面上的弹簧双振子，若m1=m2，则与图1等效.通过分析两个小球受力大小的变化情况以及速度和加速度的变化情况，可画出质心和两个物体的速度图像如图3所示.

图2 弹簧双振子中的一个振子受到恒力

图3 A的质量等于B的质量时的速度图像

曲线上某点切线的斜率表示加速度，画一条竖直线表示某一时刻，与两条曲线相交，过交点分别作两条切线，当两条切线平行时，对应的加速度相等，由图可见，此时A，B的速度差最大，故选项B正确；由于拉力始终对系统做正功，机械能始终增加，不可能达到最大，故选项A错误；由于两物体始终做加速运动，所以第一次速度相等时，二者的速度都达到最大，故选项C正确；由于速度相等时，没有相对运动，则相对位移最大，即弹簧伸长量最大，因此弹簧的弹性势能最大.或者从曲线包围的面积表示相对位移可知，第一次速度相等时，两个曲线之间的面积最大，故选项D正确.

在两个物体拉伸弹簧过程中，相对位移一直增大，间距一直增大.要注意相对位移与间距的区别.如果是压缩弹簧，虽然相对位移一直增大，但间距却一直减小.相对位移表示弹簧的形变量，而间距表示弹簧某时刻的长度.从速度图像可知，当二者速度相等时，加速度不相等；当二者加速度相等时，速度不相等.因此在恒力作用下的弹簧连接体系统不可能一起做匀加速直线运动.

还可从非惯性系的角度进行分析.系统的质心做匀加速直线运动，加速度大小为

在图3中，倾斜直线表示质心运动的速度图像，函数关系式为

由图像形状可知，当第一次速度相等时，A的加速度最小，B的加速度最大；对于第一次速度相等之前的图像，若作两条切线都平行于倾斜直线，则两个切点的连线是倾斜的，表明不在同一时刻，由于连线的倾斜角大于90°，可知A的加速度先等于质心的加速度，B的加速度后等于质心的加速度，不可能同时等于质心的加速度.

下面定量分析弹簧连接体在恒力作用下的运动.

若两个物体质量相等，则速度图像关于过原点的倾斜直线对称.开始弹簧处于原长时，物体B的加速度为零，物体A的加速度

系统质心的加速度

则物体A相对于质心的加速度即二者之差为

由于物体A相对于质心做简谐运动，在t=0时刻的相对加速度取最大值

因此相对加速度随时间变化的关系为

所以物体A的加速度关系式

如果两个物体的质量不相等，那么速度图像如何呢？选项C是否正确呢？或者说，两个振子的速度与加速度跟其质量有何关系呢？首先进行定性分析.物体在相同外力作用下，质量越大，加速度越小，即速度增加得越慢，或者说，经历相同的时间，达到的速度较小.由此可知，如果物体A的质量大于物体B的质量，则速度图像如图4所示，选项C一定正确.当物体A的质量小于物体B的质量时，速度图像如图5所示，可知当A与B的速度第一次相等时，A的速度已经不是最大值，此时选项C错误.下面进行定量分析.

图4 A的质量大于B的质量时的速度图像

图5 A的质量小于B的质量时的速度图像

若以物体B为参考系，则物体A相对于B做简谐运动，画出A相对于B的v′-t图像如图6所示.

图6 A相对于B的速度图像

在t1时刻，A相对于B的加速度为零，此时aA=aB，vA>vB.在t=0时刻，弹簧处于原长，在t=t2时刻，弹簧被拉伸至最长，由图6可知，这两个时刻A相对于B的加速度大小相等，方向相反.

左达蹲下身子，拿起一扎钞票，用大拇指把钞票一头弄弯曲，然后略一松开，让钞票像被洗的扑克牌一样翻卷着，发出一阵轻微的悦耳的脆响。然后，他把跟前的百元大钞五扎一堆五扎一堆地一字排开，又一屁股坐在了脏脏的水泥屋顶上，他正要埋头签字，突然停下了，仰望着徐艺，一笑，道：“要不然，咱俩赌一把？”

为正值，由a1=a2得

若f

若假设为正值，则a1=a2不成立，只能为负值，由a1=-a2得

若m1>m2，则在t=t2时刻f

若m1F，表明A后来受到的合外力方向向左，则加速度先减小到零，再反向增大，即最后加速度小于零，那么速度先增大后减小，速度图像如图5所示.

由图5可知，在A和B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，当二者加速度相同时，A的速度大于B的速度；当二者速度相同时，加速度大小可能相等，但方向相反，因此不可能一起做匀加速运动.

2 弹簧连接体的一个物体做匀加速运动

若其中一个物体受到动力的作用而做匀加速直线运动，则该物体可视为非惯性系.如图7所示，平板车沿水平方向做匀加速直线运动，若以平板车为参考系，则滑块受到一个大小为ma,方向与a反向的惯性力，相当于等效重力，与竖直弹簧振子相似，由于竖直弹簧振子相对于悬点做简谐运动的周期

与重力无关，因此，滑块相对于平板车做简谐运动，周期为

与惯性力无关.弹簧振子与小车的加速度可能某时刻相同，但不可保持加速度相同的稳定状态.

图7 弹簧连接体中的小车做匀加速运动

【例2】如图8所示，升降机的天花板上悬挂一劲度系数κ=200 N/m的轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为2 kg的物体，若升降机自静止开始，以1 m/s2的加速度匀加速上升，物体将如何运动？(取g=10 m/s2)

图8 例2题图

分析:升降机以1 m/s2的加速度匀加速上升，表明升降机所受合外力恒定，由于弹簧弹力是变力，因此升降机受到的牵引力不是恒力，那么整体受到的合外力不是恒力.若认为物体相对于系统的质心做简谐运动则是错误的.而实际是物体在非惯性系中做简谐运动，即物体相对于升降机做简谐运动，当物体再次相对于升降机静止时，弹簧伸长量达到最大，然后间距变小.二者的速度图像如图9所示.

图9 升降机和物体的速度图像

总之，对于弹簧双振子系统，若其中一个物体受到恒力作用，则二者的运动都是匀加速直线运动与简谐运动的合运动，不可能共同做匀加速直线运动，也不能说都做简谐运动，而是各自相对于系统的质心做简谐运动，或者说一个物体相对于另一个物体做简谐运动，弹簧长度发生周期性变化，并非保持不变.若其中一个物体做匀加速直线运动，则该物体可视为非惯性系，那么另一个物体相对于非惯性系始终做简谐运动.

1 张林海，黄振平.一道高考选择题的定量计算.中学物理，2010(5)：26

2 张征印.奇思妙想 解惑答疑.数理天地，2011(5)：35

3 张晓红.弹簧题的错解剖析.中学物理，1999(5)：46

2016-06-02)