一种抑制初始微分峰值现象的改进型三阶时变参数扩张状态观测器

孙佃升，章跃进

(1.上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072；2.滨州学院 电气工程学院，山东 滨州 256600)

一种抑制初始微分峰值现象的改进型三阶时变参数扩张状态观测器

孙佃升1,2，章跃进1

(1.上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072；2.滨州学院 电气工程学院，山东 滨州 256600)

传统扩张状态观测器(extended state observer,ESO)在运行时普遍存在着由于状态变量的初始观测值和实际值的偏差过大带来的初始微分峰值现象。为抑制微分峰值现象，避免系统调节过程中出现振荡，缩短调节时间，提高动态性能，提出了一种改进型三阶时变参数ESO。首先，给出了改进型三阶时变参数ESO的构建方法和稳定性证明。然后，分析了该新型ESO在有扰动时的观测误差范围，并与传统ESO做了对比。最后，通过仿真表明该三阶改进型时变参数ESO能有效抑制微分峰值现象，且比传统的三阶非线性ESO具有更快的收敛速度和更高的观测精确度。

自抗扰控制；扩张状态观测器；观测精确度；微分峰值现象；时变参数；状态估计；不确定系统

0 引 言

扩张状态观测器(extended state observer，ESO)是自抗扰控制(active disturbance rejection control，ADRC)系统的核心部分，其性能的优劣决定着ADRC的整体性能。ESO能实时观测系统中不易测量的状态变量以及一些未知的、不确定的量，其应用日益广泛，成为研究热点[1-2]。

线性ESO是结构最简单的ESO，其特点是误差函数采用线性函数。常规线性ESO虽然性能稍差；但由于算法简单，因而在一些场合中仍然获得应用[3]。文献[4]设计了最初的采用非线性函数fal(·)和fhan(·)作为误差函数的非线性ESO，该ESO成为经典的ESO而被沿用至今。文献[5]提出了一种非线性ESO的参数设定方法，给出了确保系统稳定的参数取值范围。文献[6]从ESO观测周期入手研究，提出了一种基于观测周期不变条件下的参数整定方法。文献[7]采用带宽分析的办法将非线性ESO线性化，并给出了线性ESO的参数设计方法。文献[8-14]采用多种方法研究了ESO的稳定性、观测性能和抗扰性能，为参数配置提供了依据。文献[15]提出了采用反正切函数的非线性ESO，并验证了其效果。文献[16]设计了采用双曲正切函数的二阶变参数ESO，并取得了良好的效果。以上研究多从ESO参数设定、非线性误差函数选取等方面改善ESO的性能，在ESO的结构上未做改进。经典ESO通过采用非线性函数的办法来抑制初始微分峰值现象，在对系统控制性能和观测精确度要求较高的场合下往往不能满足要求。文献[16]虽提出了采用时变参数抑制微分峰值现象的办法，但未给出采用变参数的ESO的稳定性证明，所用ESO也仍为经典的ESO结构。

本文从ESO的运行原理出发，分析了通过优化各状态变量的反馈偏差，进而在结构上进行改进的改进型ESO的性能优势。给出了改进型的三阶时变参数ESO的稳定性证明，并与经典三阶ESO做了扰动影响下的误差范围分析和对比，最后通过仿真验证了所提出的ESO在抑制微分峰值现象和提高观测精度方面的优势。

1 经典ESO与初始微分峰值现象

利用控制对象状态变量的给定值和输出值之间的偏差对控制对象进行控制，使状态变量跟随给定值的理论是控制中的基本原理[17-18]，在PI控制中得到了成功的应用。然而，PI控制中的减小调节时间和减小超调是一对矛盾，要获得较短的调节时间就必然要容许一定量的超调存在。尤其在控制系统工作的初始阶段，给定值和实际值之间的偏差较大，产生的超调往往很大。这一问题是偏差控制的自身机理决定的，仅仅通过调节PI参数不能从根本上解决。

ESO从根本上说也是偏差控制，即通过状态变量的观测值和实际值之间的偏差控制其跟随实际值。在ESO工作的初始阶段，由于ESO中各状态变量观测值的初始值与对应的系统状态变量实际值的偏差较大，调节中就会出现很大的超调，即所谓的初始微分峰值现象。下面以经典三阶非线性ESO为例进行分析。

控制系统如下所示：

(1)

(2)

上述系统的经典三阶ESO模型为：

(3)

式中：fal(·)为文献[4]所提出的非线性函数；a1、β1、β2均为大于零的参数；α1、α2为非线性系数，δ为滤波系数；z1、z2、z3分别为x1、x2、x3的观测值。

根据式(3)可知，经典ESO中对z1、z2、z3的控制是通过调节其各自的导数进行的，而调节的依据为z1与x1的误差e(t)。从调节过程上分析，显然是首先完成z1对x1的跟踪，然后才是完成z2对x2的跟踪，最后才是z3完成对x3的跟踪。虽然各状态变量同时调节，但到达稳态的顺序却是这样的。在z1的调节完成前，对z2和z3跟踪其各自实际值的调节不可能完成；而ESO中z1对x1的跟踪到达稳态后，ESO对z2和z3的控制难度却加大了，原因是这时e(t)的值已很小。为使ESO有能力继续完成z2对x2的跟踪调节以及z3对x3的跟踪调节，经典ESO中的参数β1和β2必须依次设置为更大的值。通常情况下，β1和β2要比a1大10至100倍。显然，这样的参数设置的前提是ESO的z1对x1的跟踪达到稳态，误差e(t)很小；但在系统调节过程中，尤其是ESO工作的初始状态下，e(t)有时很大，过大的参数必然引起调节过程的振荡以及初始时严重的微分峰值现象。

显然，当误差函数采用线性函数时，微分峰值现象最为严重。为有效抑制微分峰值现象，经典ESO采用fal(·)等非线性函数作为误差函数。这类非线性函数的特点是其输出对输入来说实现“小误差、大增益，大误差、小增益”。采用该类非线性函数对抑制微分峰值现象是有效的，但效果有限。

2 基于时变参数的改进型ESO设计

经典ESO中通过e(t)来完成所有状态变量调节的运行机理是加剧微分峰值现象的原因，因而有必要对ESO从结构和运行机理上进行改进。

由式(3)可得：

(4)

进而整理得：

(5)

(6)

由以上的分析可知式(6)所示的改造后的ESO，可在参数β1、β2选取较小值的情况下获得比经典ESO更好的动态调节性能和更小的稳态观测误差(后面进行数学上的推理证明)。其β1、β2取值较经典ESO小，对抑制初始微分峰值现象自然比经典ESO效果更好。为进一步提升抑制微分峰值的效果，将固定参数β1、β2替换为时变参数[16]，如下所示：

(7)

β11、β21为根据具体系统选取的大于零的定值参数，b1、b2为时间变量的系数，且b1>0，b2>0。因双曲正切函数tanh(·)具有饱和特性，合理选择以上参数可抑制ESO初始时的微分峰值现象。此外，改进型ESO的反馈偏差得到优化，其在运行中，状态变量观测值对实际值的跟踪性能也较经典ESO有较大提升。

3 基于时变参数的三阶改进型ESO的稳定性证明

对于式(6)所示的改进型非线性ESO，时变参数β1、β2恒为正值。由于非线性函数fal(·)是平滑、连续的函数；在其自变量任意的小邻域内，均可将fal(·)视作线性函数，即认为fal(·)由无数段线性函数拼接而成。这样，式(6)所示的时变参数非线性ESO可变为时变参数线性ESO，如下式所示：

(8)

式(8)所示的时变参数a2(t)由非线性函数fal(·)及其参数α1、δ以及时变参数β1决定，时变参数a3(t)由非线性函数fal(·)及参数α2、δ以及时变参数β2决定。由于fal(e(t),α1,δ)关于e(t)单调递增，综合以上分析，可得到a2(t)、a3(t)的表达式为：

α2(t)=β11·tanh(b1t)·k1，

α3(t)=β21·tanh(b2t)·k2。

其中k1、k2均为大于零的时变参数。可知，恒有a2(t)>0和a3(t)>0成立，且a2(t)、a3(t)有界。

这样，对式(6)所示非线性ESO的稳定性证明转化为对式(8)所示时变系数线性ESO的稳定性证明。

令e1(t)=z1(t)-x1(t)，e2(t)=z2(t)-x2(t)，e3(t)=z3(t)-x3(t)。

由式(2)、式(8)可得到：

(9)

(10)

令a′=a1+a2(t)+a3(t)，b′=a1a2(t)+a1a3(t)+a2(t)a3(t)，c′=a1a2(t)a3(t)，可得式(10)的特征方程为

λ3+a′λ2+b′λ+c′=0。

(11)

由霍尔维茨定理，其全部特征根均具有负实部的充要条件是a′>0，c′>0，a′b′-c′>0。可见该条件全部成立；因此，式(10)所示系统的零解(e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0)是全局渐进稳定的。

考虑扰动ω(t)时，系统存在稳态误差。规定|ω(t)|≤ω0，ω0>0，为常数。系统达稳态时，可得：

(12)

再根据式(9)，计算得稳态误差为：

(13)

(14)

(15)

4 经典三阶非线性ESO的观测误差

式(3)所示的经典三阶ESO，同样可对其进行稳定性和误差分析。按照上述方法，式(3)可变为时变线性ESO，如下所示：

(16)

(17)

令a′=a1，b′=a2(t)，c′=a3(t)，可得式(17)的特征方程为

λ3+a′λ2+b′λ+c′=0。

(18)

由霍尔维茨定理，其全部特征根均具有负实部的充要条件是a′>0，c′>0，a′b′-c′>0。可见，当a1a2(t)>a3(t)条件下，式(17)所示系统的零解(e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0)是全局渐进稳定的。

考虑扰动ω(t)时，系统存在稳态误差。规定|ω(t)|≤ω0，ω0>0，为常数。系统达稳态时可得：

(19)

计算得稳态误差

(20)

(21)

(22)

为确保ESO收敛，且提高观测精确度，ESO参数a1、a2(t)、a3(t)的取值均大于1[5]。在该条件下，将式(20)、(21)、(22)与式(13)、(14)、(15)进行对比可知，所提出的改进型三阶ESO的稳态误差要小于经典三阶ESO。此外，经典三阶ESO需要满足条件a1a2(t)>a3(t)才能稳定，a3(t)的取值不能比a1和a2(t)大太多，这也限制了其稳态精确度的提高。

5 仿真结果分析

为验证改进型三阶时变参数非线性ESO的性能，对其做了建模仿真，并与经典三阶非线性ESO的仿真结果进行了对比。

控制系统的扩张状态方程为：

(23)

改进型三阶非线性时变参数ESO如式(6)所示，其中时变参数β1、β2如式(7)所示。选取参数α1=0.5，α2=0.25，δ=0.01，a1=50，β11=100，β21=500，b1=10，b2=15。时变参数β1、β2随时间的响应情况如图1所示。

图1 时变参数的值的变化情况Fig.1 Changes of values for time-varying parameters

经典三阶非线性ESO如式(3)所示，选取参数α1=0.5，α2=0.25，δ=0.01，a1=50，β1=100，β2=500。以下为2种ESO的仿真结果对比。

图2为改进型ESO与经典ESO对z1跟踪x1的对比。可见改进型ESO的跟踪快速性明显好于经典ESO。

图2 改进型ESO和经典ESO对z1跟踪x1的对比Fig.2 Comparison of z1 tracking x1between improved ESO and traditional ESO

图3为改进型ESO与经典ESO对z1的观测误差e1(t)的对比。可见改进型ESO的稳态误差小于经典ESO，且改善了初始微分峰值现象。

图4为改进型ESO与经典ESO对x2的观测值z2的跟踪x2情况的对比。可见经典ESO初始出现微分峰值现象，而改进型ESO的初始响应快速且超调小，较好地抑制了微分峰值现象。

图5为改进型ESO与经典ESO对x2的观测误差e2的对比。可见经典ESO初始出现很大超调，且误差较大。改进型ESO的初始响应快速且无超调，观测精确度明显提高。

图3 改进型ESO、经典ESO对x1的观测误差e1对比Fig.3 Comparison of observation error e1 of x1 between improved ESO and traditional ESO

图4 改进型ESO和经典ESO对z2跟踪x2的对比Fig.4 Comparison of z2 tracking x2between improved ESO and traditional ESO

图5 改进型ESO和经典ESO对x2的观测误差e2的对比Fig.5 Comparison of observation error e2 of x2 between improved ESO and traditional ESO

图6 改进型ESO和经典ESO对z3跟踪x3的对比Fig.6 Comparison of z3 tracking x3 between improved ESO and traditional ESO

图6为改进型ESO与经典ESO对x3的观测值z3的跟踪x3情况的对比。可见改进型ESO的初始响应快速且较好地抑制了微分峰值现象。

图7为改进型ESO与经典ESO对x3的观测误差e3的对比。可见改进型ESO的初始超调较经典ESO减小到其1/6，且观测精确度明显提高。

图7 改进型ESO和经典ESO对x3的观测误差e3的对比Fig.7 Comparison of observation error e3 of x3 between improved ESO and traditional ESO

6 结 论

本文分析了经典ESO在状态变量初始值和系统状态变量的初始值存在较大偏差时，出现微分峰值现象的原因。提出了一种改进型三阶时变参数非线性ESO，并从数学上证明了其稳定性且稳态精确度好于经典三阶非线性ESO。仿真实验表明所提出的三阶改进型时变参数非线性ESO的观测精度、收敛速度、以及对初始微分峰值现象的抑制效果均好于经典三阶非线性ESO。

[1] 黄一,薛文超.自抗扰控制：思想、应用及理论分析[J].系统科学与数学,2012,32(10):1287.HUANG Yi,XUE Wenchao,Active disturbance rejection control:methodology,applications and theoretical analysis[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2012,32(10):1287.

[2] 李娟,张克兆,李生权,等.最佳叶尖速比的最大功率自抗扰跟踪控制[J].电机与控制学报,2015,19(12):94.LI Juan,ZHANG Kezhao,LI Shengquan,et al.Maximum power point tracking control with active disturbance rejection controller based on the best tip speed ratio[J].Electric Machines and Control,2015,19(12):94.

[3] 魏永清,许江宁,马恒.自抗扰控制器在陀螺稳定平台控制系统中的应用[J].电机与控制学报,2017,21(1):39.WEI Yongqing,XU Jiangning,MA Heng.Application of active disturbance rejection controller in gyro-stabilized platform control system[J].Electric Machines and Control,2017,21(1):39.

[4] 韩京清.抗扰控制技术-估计补偿不确定因素的控制技术[M].北京:国防工业出版社,2008:197-208.

[5] 康忠健,陈学允.非线性扩张状态观测器的一种设计方法[J].电机与控制学报,2001,5(3):199.KANG Zhongjian,CHEN Xueyun.A Design method of nonlinear extension state observer[J].Electric Machines and Control,2001,5(3):199.

[6] 李述清,张胜修,刘毅男,等.根据系统时间尺度整定自抗扰控制系参数[J].控制理论与应用,2012,29(1):125.LI Shuqing,ZHANG Shengxiu,LIU Yinan,et al.Parameter-turning in active disturbance rejection controller using time scale[J].Control Theory & Applicat-ions,2012,29(1):125.

[7] GAOZhiqiang.Scaling and band width-parameterization based controller-tuning[C]//Proceedings of the 2003 American Control Conference.Denver:IEEE 2003:4989.

[8] 林飞,孙湖,郑琼林,等.用于带有量测噪声系统的改进型扩张状态观测器[J].控制理论与应用,2005,22(6):995.LIN Fei,SUN Hu,ZHENG Qionglin,et al.Novel extended observer for uncertain system with measurement noise[J].Control Theory & Applications,2005,22(6):995.

[9] YANG Xiaoxia,HUANG Yi.Capabilities of extended state observer for estimating uncertainties[C]//American Control Conference.St Louis,2009:3700.

[10] GUO Baozhu,ZHAO Zhiliang.On the convergence of an extended state observer for nonlinear systems with uncertainty[J].Systems & Control Letters,2011,60(6):420.

[11] 袁东,马晓军,曾庆含,等.二阶系统线性自抗扰控制器频带特性与参数配置研究[J].控制理论与应用,2013,30(12):1630.YUAN Dong,MA Xiaojun,ZENG Qinghan,et al.Research on frequency-band characteristics and parameters configuration of linear active disturbance reje-ction control for second-order systems[J].Control Th-eory & Applications,2013,30(12):1630.

[12] ZHENG Qing,GAO Linda Q,GAO Zhiqiang.On validation of extended state observer through analysis and experimentation[J].Journal of Dynamic Systems,Measurement and Control,2012,134(2):024505.1.

[13] 陈增强,孙明玮,杨瑞光.线性自抗扰控制器的稳定性研究[J].自动化学报,2013,39(5):574.CHEN Zengqiang,SUN Mingwei,YANG Ruiguang.On the stability of linear active disturbance rejection control[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(5):574.

[14] 王海强,黄海.扩张状态观测器的性能与应用[J].控制与决策,2013,28(7):1078.WANG Haiqiang,HUANG Hai.Property and applications of extended state observer[J].Control and Decision.2013,28(7):1078.

[15] 周林阳,王生捷.基于反正切非线性函数的自抗扰控制[J].上海交通大学学报,2013,47(7):1043.ZHOU Linyang,WANG Shengjie.An improved AD-RC based on nonlinear arctangent function[J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2013,47(7):1043.

[16] 于洪国,康忠健,陈瑶.基于双曲正切函数的二阶时变参数扩张状态观测器[J].控制理论与应用,2016,33(4):530.YU Hongguo,KANG Zhongjian,CHEN Yao.Time-varying parameter second-order extended state observer based on hyperbolic tangent function[J].Control Theory & Applications,2016,33(4):530.

[17] 高志强.自抗扰控制思想探究[J].控制理论与应用,2013,30(12):1498.GAO Zhiqiang.On the foundation of active disturbance rejection control[J].Control Theory & Applications,2013,30(12):1498.

[18] 韩京清.自抗扰控制技术[J].前沿科学,2007,1(1):24.HAN Jingqing.Auto disturbances rejection control technique[J].Frontier Science,2007,1(1):24.

(编辑：张 楠)

Improvedthird-ordertime-varyingparametersnonlinearESOrestrainingthederivativepeakingphenomenon

SUN Dian-sheng1，2，ZHANG Yue-jin1

(1.School of Mechatronic Engineering and Automation,Shanghai University,Shanghai 200072,China; 2.College of Electrical Engineering,Binzhou University,Binzhou 256600,China)

The derivative peaking phenomenon in the traditional extended state observer (ESO) is universal because its deviations of initial estimated values and actual values of state variables are too large.An improved time-varying parameters third-order nonlinear ESO was proposed in order to restrain the derivative peaking phenomenon,avoid the system oscillating,shorten the adjusting time and improve the dynamic performance.Firstly,the construction method of the improved ESO and the mathematical proof of the stability of its observation error system were given.Then observation error range of the improved ESO was analyzed and compared with the traditional ESO.Finally,effectiveness of the improved ESO was verified by computer simulation.The simulation results show that the improved third-order time-varying parameters nonlinear ESO can effectively restrain the derivative peaking phenomenon,and it has faster convergence speed and higher observation accuracy than the traditional three order nonlinear ESO.

active disturbance rejection control; extended state observer; observation precision; derivative peaking phenomenon; time-varying parameters; state estimation; uncertain systems

10.15938/j.emc.2017.09.008

TM 46

:A

:1007-449X(2017)09-0055-08

2016-08-18

山东省自然科学基金(ZR2016FQ16、2014ZRB019X3)

孙佃升(1980—)，男，博士，研究方向为先进控制理论在电机控制上的应用；章跃进(1956—)，男，博士，教授，博士生导师，研究方向为电机理论、电机电磁场和电机动态仿真。

孙佃升