基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法

谭钏章，李宏伟,樊昌周,耿 耿

(1.空军工程大学信息与导航学院，陕西 西安 710077；2.解放军95999部队，北京 100078)

基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法

谭钏章1，李宏伟1,樊昌周1,耿 耿2

(1.空军工程大学信息与导航学院，陕西西安710077；2.解放军95999部队，北京100078)

针对信号频率位于两个相邻离散频率点的中心区域时，迭代插值(Iterative Interpolation Based Algorithm, IIN)算法估计误差较大，而当信号频率位于离散频率点附近时，线性方程(Linear Equation, LE)算法估计误差较大的问题，提出了一种基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法。该算法运用频谱搬移的思想，首先利用LE算法进行频率粗估计，然后将原信号往离散频率点附近频移，再利用IIN算法进行二次迭代。Monte-Carlo仿真结果表明，该算法频率估计的均方根误差在全频段内逼近克拉美-罗界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)，精度和稳定性皆优于R-IIN算法、M-LE算法和IIN算法，并且运算量小于IIN算法(二次迭代)和M-LE算法。

频率估计；频谱搬移；插值；克拉美-罗界

0 引言

低信噪比条件下正弦信号的频率估计一直是信号处理领域的经典课题，在雷达和通信等领域有广泛的应用。国内外许多学者对此有深入的研究。文献[1]给出了加性复高斯白噪声中正弦信号频率的最大似然(Maximum Likelihood, ML)估计，该算法的估计误差逼近克拉美-罗界(CRLB)，为最优估计，它需要在频率域进行一维搜索，计算量太大。基于离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform, DFT)的频率估计方法[2]可以利用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)实现，因而在工程上得到了广泛的应用。对截断的信号进行抽样离散，然后作FFT变换后，会带来频谱泄漏与栅栏效应，通过对信号加窗可以有效减少频谱泄漏的问题[3-6]。为减小栅栏效应所带来的估计误差，文献[7]提出的Rife算法利用信号频谱幅度最大的两根谱线幅度的比值进行插值来估计频率，高信噪比环境下能有效提高估计精度，在低信噪比条件下容易出现插值方向错误[8]。Quinn算法[9-10]利用FFT谱线的相位对相位噪声有180°的抵抗容限，用幅值最大的三根谱线的复比值的实部进行插值，有效地避免了Rife算法插值方向错误的问题。但在低信噪比条件下时，对某些频率点的估计仍然波动明显。针对这一问题，Serge提出线性方程(LE)[11-12]算法。该方法对离散正弦信号建立了线性方程模型，较Quinn算法有更强的抗噪性能，在信号频率位于两个离散频率点中心区域时精度较高，在信号频率点位于离散频率点附近时估计精度会下降。文献[13]在Quinn算法的基础上，利用LE算法来判断插值方向，提出了基于频移修正的线性方程频率估计算法，即M-LE算法，相比Quinn算法在低噪比条件下的估计精度和稳定性有进一步提高。但该算法受Quinn算法在信号频率越靠近离散频率点时估计误差会变大的限制，在全频段内估计性能不稳定，出现波动。Aboutanios提出一种迭代插值(IIN)算法[14-15]，通过两次以上的迭代使得MSE逼近CRLB。该算法在信号频率位于量化频率点附近时精度较高，否则要经过多次迭代来减小估计误差，而多次迭代会产生巨大的运算量。文献[16]结合Rife算法在信号频率位于两个相邻量化频率点的中心区域时精度较高和IIN算法在信号频率位于量化频率点附近时精度较高的优点，提出了R-IIN算法，在高信噪比条件下有良好的估计性能。但是Rife算法在低信噪比条件下易出现插值方向错误，因此R-IIN算法在低信噪比条件下估计误差较大，在低信噪比条件下进行频率估计时精度下降。

本文针对LE算法和IIN算法的估计误差依信号频率而变化且波动较大的问题，结合两种算法的优点，提出了基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法。

1 LE算法和IIN算法原理

1.1 信号模型

加性高斯白噪声污染的复正弦信号模型可表示为：

x(n)=Aej(2πfn+φ)+w(n),n=0,1,…,N-1

(1)

其中，A、f、φ分别为信号的振幅、归一化频率和初始相位，N为信号序列长度。w(n)为均值为零，方差为σ2的复高斯白噪声序列。对x(n)作FFT，得到其傅里叶变换：

(2)

其中，W(k)为w(n)的傅里叶变换。其频谱图分辨率为Δf-fs/N，fs为采样频率。设k=k0时X(k)幅度最大，当信号频率f正好为Δf的整数倍时，真实频率与最大谱线位置重合，估计值不会出现偏差。在实际中出现这种情况的概率很小，更常见的是信号频率位于最大谱线位置与次大谱线位置之间，不失一般性，信号的真实频率可表示为:

f=(k0+δ)×Δf；δ∈[-0.5,0.5]

(3)

因此，插值类算法可以分两步进行。第一步，粗估计：对信号序列作FFT得到最大幅度谱线对应位置k0(整数)；第二步，精估计：利用插值算法对偏差δ(分数)进行精确估计，最后根据式(3)得出频率估计值。

1.2LE算法原理

在无噪声污染环境下时，复正弦信号模型由式(1)可进一步表示为[11-12]：

s(n)=Aλm

(4)

其中，λ=ejω，A为信号幅度。 对s(n)作DFT得到：

(5)

式(5)中，WN=e-j2π/N，p=A(1-λN)。等式两边同时乘以分母，式(5)变形为：

(6)

在噪声环境下，式(1)和式(2)可由式(4)、式(5)表示为：

x(n)=s(n)+ω(n)

(7)

X(k)=S(k)+ψ(k)

(8)

为区分W(k)与WN，将W(k)用ψ(k)代替(如式(8)中所示)。式(7)、式(8)直接代入式(6)得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

1.3IIN算法原理

1)迭代一：

(14)

(15)

2)迭代二：

(16)

(17)

3)

(18)

IIN算法是把信号的频谱往靠近|δ|=0的方向进行频谱搬移，即往离散频率点附近频移。当信号频率t位于离散频率点附近时，X0.5与X-0.5的实部值大小十分接近，同时值较大，受噪声影响较小，此时IIN算法的估计精度较高。当信号频率f位于两个离散频率点的中心区域时，X0.5与X-0.5两者之中远离Xk0的实部值较小，受噪声干扰较大，算法估计的精度下降，此时需要多次迭代才能逼近CRLB。

2 基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法

由以上分析可知：IIN算法在信号频率位于离散频率点附近时估计精度较高，位于两离散频率点中心区域时，受噪声影响估计精度下降。而LE算法在低信噪比条件下具有良好的抗噪声性能，在全频段内性能稳定，且在两个离散频率点中心区域时具有较高的估计精度[11]。

因此，对原始信号进行离散化处理之后，首先用LE算法来判断插值方向，确定插值方向的准则为：

(19)

综上所述，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法实现步骤如下：

1)对信号作FFT，得到最大谱线位置；

3 实验仿真和计算量分析

为了验证基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法的稳定性与估计精度，利用Monte-Carlo模拟实验的方法对算法进行仿真，并与M-LE算法[13]、IIN算法[14]和 R-IIN算法[16]进行对比。仿真实验分为两个部分：第一部分是各算法在信号频率位于两个离散频率点之间不同位置时的估计误差的对比，实验结果采用均方误差(Mean Square Error, MSE)与克拉美-罗界的比值，即MSE/CRLB来度量；第二部分分析了各算法在不同信噪比条件下的估计误差，实验结果为MSE。定义信噪比SNR=A2/σ2，在正弦信号的幅度和初始相位都未知的情况下，频率估计的CRLB为[1]：

(22)

3.1 实验仿真与结果分析

仿真条件1): 采样频率fs=1 MHz，采样点数N=256，信号频率f=Δf(20+δ)，其中δ∈[-0.5,0.5]，区间间隔为0.05。分别在SNR为10 dB、和-6 dB的条件下，对每个频点处做1 000次Monte-Carlo仿真，得到其性能曲线分别如下图 1 (a)和图1 (b)所示。

图1 不同信号频率处各算法MSE/CRLB值Fig.1 MSE/CRLBof each algorithm

由图1仿真结果可知，在信噪比较高(SNR=10 dB)的情况下，由于R-IIN和M-LE分别是在Rife算法和Quinn算法的基础之上的改进，受到Rife算法和Quinn算法在全频段内不稳定的限制，部分频率点的误差较大，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法的性能曲线几乎与IIN算法的性能曲线重合，算法在全频段内的稳定性和整体的估计精度都明显优于R-IIN和M-LE算法；在信噪比较低(SNR=-6 dB)的情况下，R-IIN算法的估计误差变得比较大，达到了2.5倍以上CRLB。M-LE算法的估计误差波动明显，MSE整体在1.4倍CRLB以下，IIN算法在|δ|→0时MSE逐步变大，整体在1.4倍CRLB以下。而基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法在全频段内性能都比较稳定，均方误差(MSE)在1.2倍CRLB以下，优于R-IIN算法、M-LE算法和IIN算法。

仿真条件2): 采样频率fs=1 MHz，采样点数N=256，SNR∈[-8,2]，区间间隔为0.5，分别在信号频率f=Δf(20+0.05)和f=Δf(20+0.45)时，在每个信噪比条件下做1 000次Monte-Carlo仿真实验，得出MSE性能曲线如下图2(a)和图2 (b)所示。

图2 不同信噪比条件下各算法估计性能Fig.2 The comparison of MSE in different SNR

由图2仿真结果可知M-LE算法在f=Δf(20+0.05)频点处信噪比门限高于另外三种算法，信噪比达到-7 dB以下时，算法失效。R-IIN算法的MSE明显高于另外三种算法。当f=Δf(20+0.45)时,在信噪比达到-6 dB的条件下，R-IIN算法波动较大,估计精度下降。而基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法性能始终表现稳定。当|δ|→0时，其MSE大小与IIN算法相当 ，当|δ|→0.5时，其MSE小于IIN算法，更加逼近CRLB。

3.2 计算量分析

作一次N点的FFT需要(N/2)log2N次复数乘法和Nlog2N次复数加法。此外，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法在判断插值方向时要增加两次复数乘法和两次复数加法。进行二次迭代计算X±0.5时增加2N次复数乘法2(N-1)次复数加法。各算法运算量比较如表1所示。

表1 各算法运算量分析

由表1分析可知，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法的运算量小于M-LE算法和IIN算法(二次迭代)，比R-IIN算法只多两次复数乘法和两次复数加法。因此，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法在不显著增加运算量的情况下，提高了估计精度和稳定性，整体计算量较小，便于硬件实现。

4 结论

本文分析了LE算法和IIN算法的特点，并结合两种算法提出了基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法。该算法既利用了LE算法在信号频率位于两离散频率点中心区域时精度较高和抗噪性能良好的优点，避免了插值方向错误的问题，又发挥了IIN算法在信号频率位于离散频率点附近时精度较高的优点。实验仿真结果表明，基于LE和IIN算法的正弦信号频率估计算法在全频段内性能的稳定性和精度整体优于R-IIN算法、M-LE算法和IIN算法，在保证运算量较小的同时有效地提高了估计精度和稳定性，适用于信号频率的实时估计且精度要求较高的场合。

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FrequencyEstimatorofSinusoidSignalBasedonLEandIINAlgorithm

TAN Chuanzhang1, LI Hongwei1，FAN Changzhou1,GENG Geng2

(1. Information and Navigation College, Air Force Engineering University, Xi’an 710077, China; 2. Unit 95999 of PLA, Beijing 100078, China)

Aiming at the problem that when the frequency locates in the central region of two adjacent discrete frequency points, the variance of iterative interpolation (IIN) based estimator becomes larger and the estimation precision of linear equation (LE) algorithm decrease when the frequency is near to the discrete frequency points, a new algorithm which based on LE and IIN algorithm was proposed in this paper. Firstly, a coarse frequency was estimated by the LE algorithm. Then move the original signal to the discrete frequency point via frequency shift modification. Finally, the second iteration of IIN algorithm was used to get a fine signal frequency estimate. Monte-Carlo simulation showed that the root mean square error (RMSE) approached to Cramer-Rao lower bound(CRLB) throughout whole frequency range. The performance of the proposed algorithm was better than R-IIN algorithm, M-LE algorithm and IIN algorithm both in accuracy and stability, and the computation was smaller than IIN algorithm(two iterations) and M-LE algorithm.

frequency estimation; frequency shift modification; interpolation; Cramer-Rao lower bound

2017-01-12

:国家自然科学基金项目资助(61571457)

:谭钏章(1993—)，男，湖南湘潭人，硕士研究生，研究方向：雷达信号处理。E-mail:jzscion@163.com。

TN911.6

：A

：1008-1194(2017)04-0119-05