特殊多边形在尺规作图中的运用

许武荣

在许多尺规作图中运用了三角形全等的性质、特殊多边形的性质等进行作图，其中利用某些特殊多边形的性质作图将对在作特殊度数的角方面有所帮助，又能使一些经典作图得以简化，进而提高作图的效率和精度。以下从几方面列举一些特殊多边形在尺规作图中的运用。

一、特殊三角形在尺规作图中的运用

1、利用正三角形的特殊性质作图

正三角形有一个重要性质，即它的三个内角都是60°，且利用尺规作图可以很容易得到正三角形。于是我们利用尺规作图作一个正三角形就可得到60°的角。

2、利用两直角边比为1∶2的直角三角形的特殊性质作图

如图2，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=2BC，DC=BC，AE=AD，于是E为线段AB的黄金分割点，其中AE∶EB=1∶。

利用这个直角三角形也可作正五边形，如图3，在圆B中，∠ABC=90°，，， ， ，则△BCE是一个边长比为1∶1∶的三角形，其顶角∠CBE=72°，这样继续以CE为半径截圆就可以得到此圆的五等分点，进而作出正五边形。

利用这个直角三角形还可以作出底角为72°的三角形，如图4，在黄金分割作圖的基础上，作△AEF，使，，

则AE∶AF∶EF=1∶1∶，

∠AEF=72°，∠EAF=36°.

至此，我们已用尺规作图的方法先后得到60°和72°，于是对于整数度数的角，我们可利用尺规作图的方法得到°（∈N）的角。

二、特殊四边形在尺规作图中的运用

1、利用平行四边形的对边互相平行的性质作平行线

已知：直线l和l外一点A.

求作：过A与直线l平行的直线.

作法：

1、在直线l上任意取两点B，C.（实践中可使BC>AB，以减小作图误差。）

2、以A点为圆心，BC长为半径作弧.

3、以C点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D.

4、作直线AD.

则直线AD即为所求，其中由作法知四边形ABCD是平行四边形，如图5.

此法与平行线经典作图（利用同位角相等或内错角相等，两直线平行）相比，作图步骤较少，精简易行，我们知道当作图步骤过多时，误差被多次逐级放大，作图结果将存在较大误差。所以，此法减少了作图步骤，可以明显地提高作图效率和作图精度，建议以此法替代平行线经典作图。

2、利用等腰梯形的上下底边互相平行的性质作平行线

已知：直线l和l外一点A.

求作：过A与直线l平行的直线.

作法：

1、在直线l上任意取两点B，C.（实践中可使AC>AB，以减小作图误差。）

2、以B点为圆心，AC长为半径作弧.

3、以C点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D.

4、作直线AD.

则直线AD即为所求，其中由作法知△ABC≌△DBC（SSS），于是四边形ABCD是等腰梯形，如图6.

3、利用菱形的对角线互相垂直平分的性质，求作点关于直线的对称点

已知：直线l和l外一点A.

求作：点A关于直线l的对称点.

作法：

1、在直线l的另一侧任意取一点K，以A点为圆心，AK长为半径作弧. 交直线l于两点B，C.（实践中可使BC≈AB，以减小作图误差。）

2、以B点为圆心，AK长为半径作弧.

3、以C点为圆心，AK长为半径作弧，两弧相交于点D.

则点D即为所求，其中由作法知四边形ABDC是菱形，直线l垂直平分线段AD，如图7.

从上面的例子我们可以看到特殊多边形的性质在作特殊度数的角、简化作图和提高作图的效率和精度方面有所帮助，特殊多边形的性质在尺规作图中的运用还有很多，本文仅举寥寥数例，希望它能起到抛砖引玉的作用，以探索更多的运用实例。endprint