初中数学复习中习题变式中条件的弱化和强化

张英杰

摘 要：中考数学复习中，教师要加强对课本例、习题和中考数学试题的研究，立足基础，力求变化，形成问题链，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，真正提高45分钟的课堂复习效益，切实减轻学生的学习负担。

关键词：复习 变式 題组

新课程下的数学教学，我们强调的是教师的“变通”。现在处于紧要关头的中考数学复习教学，更能体现教师的付出和实效，目的是在两三个月的时间内达成中考复习的各项目标，这里包括数学知识的全面掌握、解题的技能和各种能力的强化提高、数学思想方法的灵活应用等。

我以一道极其常见而又简单的习题为例，看看中考数学复习教学中几何问题所常用的变式策略，并选某地的中考数学试题具体说明对问题的变式及应用，给中考数学复习以启示。

题目 已知：在 和 中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且 。求证： 。

一、分析思考拓展

从学生熟悉又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不但有利于学生学习的畏难心里，让学生积极、主动地投入到中考数学复习中，而且还有利于帮助学生全面又系统地掌握数学知识、数学思想和数学方法，大大的提高学生综合应用知识解决问题的能力。

我们知道，几何问题的演变策略通常有五种：

（1）条件的弱化或强化；

（2）结论的延伸与拓展；

（3）基本图形的变化和拓展；

（4）条件、结论的互逆变换（即建立并讨论原命题的逆命题）；

（5）基本图形的构造与应用；二、以“条件的弱化或强化”为例，分析变式

针对上面习题的条件“AC=CE（线段相等）”、“ （三个角都为直角）”和特殊结论“ （三角形全等）”，以及所具有的简单而特殊的图形，我们可以对这道习题作各种常用的变式。下面我们就尝试一下这道题的条件的弱化或强化。

当一个命题成立的条件较为多样时，我们可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两条件“一般化”，并确定相应的命题结论，这样的目的是概括成新命题以求拓展应用。针对上述习题中的关键条件“AC=CE”和“ ”，可分别弱化或同时弱化。

1.弱化条件“AC=CE（线段相等）”，则结论由三角形全等弱化为三角形相似

变式命题1：在 和 中，点D在边BC的延长线上，且 。求证：△CAB～△ECD。

例1 正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连接AP，过点P作 交DC于点Q，设BP的长为 cm， CQ的长为 cm。

（1）求点P在BC上运动的过程中 的最大值；

（2）当 时，求 的值。

例2 边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在 轴的正半轴上，点C在 轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动（不与点B，C重合），连接OD，过点D作 ，交边AB于点E，连接OE。记CD的长为 .

（1）当 时，求直线DE的函数表达式。

（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么S是否存在最大值？若存在，试求出这个最大值及此时 的值；若不存在，试说明理由。

（3）当 的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。

[分析]我们来看例1和例2，一道是中等难度的运动变化问题，一道是中考压轴题，它们都巧妙地运用了正方形的特殊性，弱化了条件，发现问题中所蕴含的变式命题1，并能正确运用其具有的相似这一结论，成了解决此类问题的突破口。

2.同时弱化条件“线段相等”和“直角”，则结论由全等弱化为相似。

变式命题2：在 和 中，点D在边BC的延长线上， 。则： ～

这里的条件为三个角相等，至于等于多少度，并无要求，可以是下面例题中的 、 或 等特殊的度数，也可以是一个一般的度数。因而，变式命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。

例3 在等腰 中，AB=AC=8， ，P为BC的中点。小红拿着含 角的透明三角板，使 角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转。

（1）当三角板的两边分别交AB，AC于点E，F时，

求证：△BPE～△CFP

（2）操作：将三角板绕点P旋转到图1（2）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F。

（1）探究1、 与 还相似吗？

（2）探究2、连接EF， 与 是否相似？试说明理由。

（3）设EF=m， 的面积为 ，试用含m的代数式表示 。

[分析]我们看三个例题分别结合学生熟悉的等边三角形、等腰直角三角形和三角板，创设了“3个角相等”的条件，因而三例都要运用三角形相似解决问题。通过这一系列问题的解决，让学生经历了问题的变化、解决的过程，帮助学生认识蕴含在这些变化中的共同点和规律，有助于提高学生对此类问题及其解决策略的认识、理解与掌握。

例4 在笔直的公路的同侧有A，B两个村庄，已知A，B两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。

（1）现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A，B两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若连接AP，BP，测得 ，求A村到车站P的距离。

[分析]我们看这题是一道几何实际应用问题，题中给出了AC，BD的长度，强化了基本问题的条件，学生若能发现这一点，就能很快运用三角形全等和勾股定理解决问题。

通过具体的案例，我们发现在中考数学复习中，教师要加强对课本例、习题和中考数学试题的研究，立足基础，力求变化，形成问题链，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，真正提高45分钟的课堂复习效益，切实减轻学生的学习负担。

参考文献

[1]吴洪生.虽小立意深刻尽显考生探究能力[J].中学数学教学参考（上旬），2016（10）：59

[2]陈玉娟.简中求道：追求数学教学的本真[J].中学数学教学参考（上旬），2016年（8）：29

[3]陈志江.摭谈考试用题的改编注意点[J].中学数学教学参考（上旬），2016年（8）：60endprint