梳理考点把握重点

赵密密

二次根式一直是中考中非负数、实数计算等热点考点必考的部分，考查的题型有低档的填空题、选择题，中档的计算题，除考查定义、性质、计算等常规题外，还经常結合实数、勾股定理等综合考查贴近生活实际的应用题、阅读理解题以及探究题等，也经常与几何知识、函数等学科内知识结合作为压轴题出现.

例1 （2016·广东茂名）计算：

（-1）2016+[8]-[-2]-（π-3.14）0.

【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方有意义的条件、二次根式的化简、绝对值有意义的条件、零指数幂和同类二次根式的合并法则.

【解答】原式=1+[22-2-1=2].

【点评】本题最容易出现差错的地方是没有正确区分“-[-2]”“-[-2]”.另外，在化简二次根式后，注意要合并同类二次根式.

例2 （2014·湖北荆州）如图，点P是以AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ）.

A.-2 B.-2.2

C.-[10] D.-[10]+1

【分析】在△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定AP的长，得到P表示的实数.

【解答】在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=[32+12]=[10]，∴AP=AB=[10]，∴OP=AP-OA=[10-1]，则P表示的实数为-[10+1].故选D.

【点评】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

例3 （2016·山东潍坊）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简[a]+[（a-b）2]的结果是（ ）.

A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b

【分析】直接利用数轴上a、b的位置，进而得出a<0、a-b<0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.

【解答】如图所示：a<0，a-b<0，

则[a]+ [（a-b）2]=-a-（a-b）=-2a+b.

故选A.

【点评】本题考查了二次根式的性质，也考查了绝对值的意义以及数轴上的点与实数的一一对应关系.

例4 （2014·江苏盐城）计算：[9]+[-1]-（[3]-1）0.

【分析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果.

【解答】原式=3+1-1=3.

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

例5 （2016·广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=[pp-ap-bp-c]（其中a、b、c是三角形的三边长，p=[a+b+c2]，S为三角形的面积），并给出了证明.

例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：

∵a=3，b=4，c=5，

∴p=[a+b+c2=6].

∴S=[pp-ap-bp-c]=[6×3×2×1]

=6.

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.

如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9.

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）求△ABC的内切圆半径r.

【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出p，再代入到公式S=[pp-ap-bp-c]中即可求得S的值；

（2）根据公式S=[12]r（AC+BC+AB），将三边长和S的值代入可得关于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，

∴p=[BC+AC+AB2] =[5+6+92]=10，

∴S=[pp-ap-bp-c]

=[10×5×4×1]=10[2]，

故△ABC 的面积10[2].

（2）∵S=[12]r（AC+BC+AB），∴10[2]=[12]r[×]（5+6+9），解得r=[2].

故△ABC的内切圆半径r=[2].

【点评】本题考查了三角形的内切圆、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间关系的公式是解题的关键.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）