经典再现举一反三

郑先明

在二次根式学习的过程中，题目很多，但题型是有限的，我们应该善于归纳经典例题，要学会举一反三，从而达到会一题而会一类题.

一、二次根式有意义

例1 若二次根式[x-1]有意义，则x的取值范围是 .

【分析】首先找二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，然后解不等式.

【解答】由题意得[]，解得[x≥1].

拓展1：若[x+1x-1]有意义，则x的取值范围是 .

【分析】本题在讨论分式有意义时，不但要考虑二次根式有意义，还要考虑分母有意义.

【解答】由题意可得：[x+1≥0，x-1≠0，]解得：[x≥-1且x≠1].

拓展2：已知y=[2x-1+1-2x-2]，求xy的值.

【分析】通过观察发现根号里面互为相反数，根据二次根式的被开方数为非负数知根号里的数只能为零，从而分别求出x，y的值.

【解答】因为2x-1[≥0，]1-2x[≥0，]所以2x-1[=0，]解得x=[12]，y=-2，所以xy=-1.

拓展3：若[（2016-m） 2+m-2017]=m，求代数式[m-20162]的值.

【分析】本题突破口仍然是二次根式要有意义.

【解答】 因为m-2017[≥0]，所以m[≥2017，]

所以[（2016-m） 2=2016-m]=[m]-2016，

因为[m]-2016+[m-2017=m，]

所以[m-2017=2016，]

所以[m-2017][=20162，]

解得[m-20162=2017].

二、分类讨论在二次根式的性质中的应用

例2 化简：[x2-4xy+4y2].

【分析】由二次根式性质：

[a2=a=][a，a≥0，-a，a≤0，]可知，我们需要对x2-4xy+4y2进行分类讨论.

【解答】 因为[x2-4xy+4y2=（x-2y）2]=[x-2y].

当x-2y[≥0]时，原式=x-2y，

当x-2y[≤0]时，原式=2y-x.

拓展1：当x取某一范围内的实数时，代数式[（1-x）2+（x-2）2]的值是一个常数，则这个常数是 .

【分析】由二次根式的性质[a2=a=][a，a≥0-a，a≤0]可知，我们需要对x进行分类讨论.

【解答】[因为（1-x）2+（x-2）2]=[1-x]

+[x-2].

当x<1时，原式=1-x+2-x=3-2x，

当1[≤]x[<2]时，原式=x-1+2-x=1，

当x[≥2]时，原式=x-1+x-2=2x-3.

又因为已知[（1-x）2+（x-2）2]的值是常数，

则这个常数为1.

三、整体思想在二次根式中的应用

例3 计算：[（2-3-6）][（2+3]-[6]）

【分析】观察发现括号里有两项完全一样，分别是[2]和[-6]，而[3]与[-3]互为相反数，那么，我们可以把[2]-[6]看成一个整体，然后利用平方差公式进行计算.

【解答】原式=[2-6-3× ] [2-6+3]

=[2-62-32]

=2+6-2[×2×6]-3=5-[43].

拓展1：已知[a2-3a+1=0]，求[a2+1a2+5]

的值.

【分析】当看到[a2]+[1a2]时，往往会联想到[a]+[1a]这样一个整体，因此我們可以将[a2]-3a+1=0的两边同时除以a，得到[a]-3+[1a=0]，从而构造整体.

【解答】因为[a2]-3a+1=0，所以[a-3][+1a][=0]，所以[a+1a=3，]两边同时平方，得[a+1a2]=9，所以[a2][+1a2]=7，所以原式=[7+5=23].

在二次根式这一章里，经典例题远不止这些，希望同学们在平时学习时也能归纳总结，从而在做题时游刃有余！

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）