一类带有输入率的SIR模型平衡点分析

闫婷婷

(晋中职业技术学院，山西晋中 030600)

一类带有输入率的SIR模型平衡点分析

闫婷婷

(晋中职业技术学院，山西晋中 030600)

本文讨论了一类具有输入率的SIR传染病模型，研究了其平衡点的稳定性，并利用Bendixson判定法得到了一定条件下平衡点的全局稳定性。

传染病模型；平衡点；全局稳定

本文研究如下模型：

(1)

其中，S(t)表示t时刻易感染者数量，I(t)表示t时刻患者数量，R(t)表示t时刻恢复者数量，a表示种群的输入率，b表示种群的死亡率，c表示传染率，d表示恢复率.

李建全[1]讨论了如下既带有接触率又具有输入率的SIR模型：

其中，S(t),I(t),R(t)含义同上，A表示对种群的总输入率，a,b,c分别表示对易感类、染病者、恢复者的输入比例.

β(N)满足条件：β(N)>0,β′(N)≤0,[β(N)N]′≥0和[β′(N)]2+[(β(N)N)′]2>0.得到无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的充要条件.

Brauer F[2]讨论了c=0,ε=0,β(N)为常数的情形，分析了这些情形下平衡点的稳定性.

1 准备知识

定义1 基本再生指数是指易感染者引入一个患者时所导致的新的感染者的平均值.

引理4(Routh-Hurwitz判定定理) 设一n次代数方程，

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0,a0>0.

(2)

特别地，当n=2时，Δ1=a1，Δ2=a1a2.

引理5(Lasalle不变集原理) 设y(t)满足方程

(3)

引理6(Bendixson-Dulae判定定理) 设x(t)，y(t)满足

(4)

2 主要结论及其证明

定理1 系统(1)的解是有界的.

证明 令N=S+I+R，则有

(5)

解常微分方程(5)得到

将S=N-I-R代入(1)，有

(6)

显然，(6)式有如下的极限系统：

(7)

定理2 系统(7)的解是有界的.

证明 令V(t)=I(t)+R(t)，则有

(8)

又因I≥0，R≥0，故I，R有界.

下面分析(7)平衡点的类型.(7)的平衡点应满足如下方程组：

(9)

由于Δ1=b(2-R1),Δ2=-b2α(2-R1)(R1-1)，故由Routh-Hurwitz判据，当1

下面考虑全局稳定性.

=R1αI-αI-c(I+R)I

=(R1-1)αI-c(I+R)I

≤0.

定理5 当1

3 结论

[1]李建全,张娟,马知恩.一类带有接触率和输入率的流行病模型的全局分析[J].应用数学和力学,2004(4):359-367.

[2]BrauerF,VandenDrieecheP.Modelsfortransmissionofdiseasewithimmigrationofinfectives[J].Math.Biosci,2001(2):143-154.

[3]马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.

[4]李海青.具有常数输入和非线性传染率的传染病模型[D].临汾:山西师范大学,2010.

[5]何泽荣,雒志学.一类带接种和年龄结构的流行病模型分析[J].工程数学学报,2003(2):41-45.

[6]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[7]王顺庆.数学生态学稳定性理论与方法[M].北京:科学出版社,2004.

The Control Discussion for SIR Epidemic Models With Input Rate

YAN Ting-ting

(Jinzhong Vocational Technology College, Jinzhong Shanxi 030600,China)

In this paper, we discuss one class of SIR epidemic models with input rate, the stability of equilibrium is studied. Under some conditions, we obtain the global stability of equilibrium by Bendixson theory.

epidemic model; equilibrium point;global stability

2017-02-23

闫婷婷(1983- )，女，讲师，硕士，从事控制工程研究。

O175

A

2095-7602(2017)08-0006-04