格林公式的教学环节设计

李庆宾　孟晓玲

摘 要 格林公式是多元函数积分学中的重点和难点之一，其定理较为抽象，应用又非常广泛，学生们在学习这部分内容时总是不得其法。文章尝试采用探索式的教学方法，在教师的指导下，以学生为主体，引导学生自觉地学习、主动地探究，着力培养学生分析问题、解决问题的兴趣和能力，有利于创新思维与创新能力的形成与发展。

关键词 格林公式 探究式教学 认知规律

0引言

格林公式是高等数学中一个非常重要的公式，它建立了二重积分与平面曲线积分之间的密切联系，在多元积分学教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位，同时，格林公式在数学、物理和化学中都有着相当广泛的应用。

笔者通过多方面调查研究发现，在该课程的教学过程中，常常存在定理的内容太抽象、证明过程理论性较强、定理的条件不好理解等问题.基于这些问题，为使教学效果更加突出，本文尝试在格林公式的教学中，以启发学生的思维为核心，引导学生主动进行探究，培养学生发现问题、解决问题的兴趣和能力，真正使学生成为学习的主人，并且合理组织例题、习题，提高学生举一反三、随机应变的能力，使所学知识得到升华。

1格林公式及证明

无论是在教材中，还是大多数教师在教学时，往往是一开始就直接给出格林公式，这无疑是超前指路，置学生的心理、思维状态于不顾，让学生觉得定理的出现太突然、抽象，从而一开始就丧失了学习兴趣.笔者认为，可以适当设计问题情境，逐步启发学生进行探究，自然引出格林公式，遵循学生的认知规律。

1.1问题的引入

接下来让学生考虑，如果D为任意的复杂单连通区域，格林公式是否成立？引导学生通过化繁为简、由难变易的思想，适当添加辅助线分割区域，结合二重积分、曲线积分的性质，容易得到（3）式仍然是成立的。

1.3定理的完善

在给出具体的定理之前，为培养学生的探究式学习能力，可以先让学生思考三个问题：（1）上述公式成立对被积函数有什么要求？（2）对积分区域和曲线有什么要求？（3）如果D是多连通区域，等式是否成立？引导学生逐一理解并解决这三个问题，并补充区域边界正向的规定之后，本节课的重要定理——格林公式便呼之欲出了：设平面有界闭区域D由分段光滑的曲线L围城，二元函数在D上具有一阶连续偏导数，则有

，

其中L是D的正向边界曲线。

为避免错误使用格林公式，应对格林公式的条件做重点强调，并采用课堂提问的方式让学生解决下面问题：（1）如果L取得是D的负向边界，公式怎么调整？（2）假如在计算曲线积分时，积分路径L不是封闭的，怎么办？（3）如果被积函数在D内某些点无定义、不可导或者导数不连续，能不能直接使用格林公式？通过指导学生回答上述三个问题，一方面可以充分调动学生参与课堂的积极性，激发表现欲，另一方面又加深了学生对定理条件的理解和记忆，为以后灵活的使用格林公式提供了思路和方法.

2例题的设计

课堂上讲解必要的例题，是实现教学目的的一个重要环节，既可以帮助学生巩固基础知识和基本方法，又能够拓宽学生思维，培养学生创造性解决问题的能力。笔者根据多年的教学经验，在本节课中从三个方面设计例题。

2.1较为基础的情形

由格林公式不难看出，在计算曲线积分或者二重积分时，为使计算过程简单，节省计算时间，可將二者相互转化，下面给出两个简单例子加以说明。

例1计算二重积分，其中D为由直线y=x，y=1和y轴所围成的三角型区域。

分析：在二重积分原始的计算方法中，将其转化为二次积分时，需要选择适当的积分次序才可行，而利用格林公式可以直接转化为I=xdy==1cos1，L是逆时针方向的整个三角形边界。

例2计算I=（x2ycosx+2xysinx）dx+（x2sinx+x）dy，其中L为椭圆周x2+2y2=4，取逆时针方向。

分析：如果利用椭圆的参数方程把该积分转化为定积分，计算过程将非常复杂，采用格林公式将其转化为二重积分，D为椭圆域。

2.2非闭区域的情形

例3计算I=，其中L为从点（2，0）沿上半椭圆周x2+2y2=4到点（2，0）。

分析：该题的设计是被积函数与例2相同，而积分路径变为上半椭圆周，不再封闭，受例2的影响，学生容易想到使用格林公式来求解，那么，取什么样的辅助线？方向如何？计算步骤是什么？可逐步引导学生自行解决。

例4计算I=，其中L为从点沿上半椭圆周x2+2y2=4到（2，0）点。

分析：例4的积分路径与例3完全一样，仍需要添加辅助线，但例4的被积函数又含有奇点（0，0），是否能取与例3相同的辅助线？作什么样的辅助线既能避开原点又使计算可行？让学生带着这些问题去思考、去探究，不断发现并解决问题。事实上，为了避开原点，第一次取辅助圆周L1：x2+y2=4，≤x≤2应用格林公式得，通过代入技巧去掉奇点后，与例3相似，第二次做辅助线y=0，≤x≤2，再次使用格林公式即得。

2.3存在奇点的情形

例5计算I=，其中L为椭圆周x2+2y2=4，取逆时针方向。

分析：该例题的被积函数与例4一样，积分路径为闭曲线，内部有奇点（0，0），受例4的启发，可以做辅助圆周L1：x2+y2=1避开原点，方向仍为逆时针，不难得到，去掉奇点后，再次直接使用格林公式计算出I=2€%i。值得注意的是，由于例4的铺垫，例5可以尝试让学生独立完成，因为这两道题的基本思路和步骤都是一样的；并且结果与辅助圆周的半径没有关系。

这里设计的五个例题，从简单到复杂，比较典型，能使学生更好的掌握格林公式的使用条件和应用技巧，体会格林公式的灵活应用之美。

3结束语

以上是格林公式这节课的教学设计，从定理的引入到例题的解答，既充分体现了学生在学习过程中的主体地位，又发挥了教师在教学过程中的主导作用，教师适时的引导和总结可以使学生的思维迅速活跃起来，这样的教学既有启发性，又有诱惑力和幽默感，深入浅出，使学生感到格林公式可望又可及。

参考文献

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[2] 同济大学数学系.高等数学（第七版）（上册）.北京：高等教育出版社，2014：240-241.

[3] 同济大学数学系.高等数学（第七版）（下册）.北京：高等教育出版社，2014：204-207.

[4] 瞿勇，金裕红，李凌.格林公式之多次运用举例[J].中国科教创新导刊，2011（23）：100-100.