浅谈函数思想在解不等式中的应用

陈燕

摘 要：研究数学问题时经常要用到许多数学思想方法，函数思想被渗透到教学和解题的各个方面。函数思想其实就是在解题中构造常用函数，从而利用函数的性质解题。在解不等式的相关问题时利用函数可以找到解决问题的突破口，某些不等式没有现成的解法时，需要构造合适的函数，通过观察求出不等式的解。

关键词：函数思想；不等式；图象

一、函数思想在解一元一次不等式中的应用

例题1：解一元一次不等式2x-1>0

思路一：利用传统方法，根据不等式的性质将系数化成1，

可得x>■。

如果利用函数的思想如何看待这个问题呢？

思路二：将2x-1看成关于x的一次函数y=2x-1。这样上面的问题可以理解为，当自变量取什么值的时候，保证因变量的值大于0。借助一次函数的图像，由图形直接观察得到原不等式的解集。如下图所示：

由图1可以发现：当自变量x>0.5时，函数图像位于x轴的上方对应的y>0；

当自变量x<0.5时，函数图像位于x轴的上方对应的y<0。

也就是说当x>0.5时，2x-1>0。则原不等式的解集为x>0.5

因此对于只含有一个未知数x的不等式都可以转化成形如

f（x）>0或f（x）<0的不等式，左边关于x的式子，可以看成以x为自变量的函数。

二、函数思想在解一元二次不等式中的应用

求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）时，将左式看成是一个关于x的函数y=ax2+bx+c（a≠0），这个不等式相当于在问，当自变量取何值时有对应的y>0。做出二次函数的图像进行观察，位于x轴上方的图像满足y>0，图形对应的自变量的取值范围就是该不等式的解。

例题2：解不等式2x2+3x-2>0

分析：先画出这个不等式对应的函数图像如下：

由图像观察可知，当x>0.5或者x<-2时，函数图像位于x轴的上方，对应的y>0也就是2x2+3x-2>0。

因此2x2+3x-2>0的解为：x>0.5或者x<-2。

这些是我们常见的不等式，下面看看其他不等式的求解过程。

三、函数思想在其他不等式中的应用

例题3：解不等式ex>x+1。

分析：将不等式化成标准形式ex-x-1>0，这个不等式不是常见不等式，没有具体的解法，也没有现成的公式可以套答案，现在用函数的思想解不等式。将左式设成一个新的函数f（x）=ex-x-1，画出函数的图像，观察哪部分函数的图像位于x轴的上方，对应哪一部分的自变量。按照这个思路对f（x）=ex-x-1先找出对应的图像，但是这个函数不是我们接触过的初等函数，画图难度较大，方法不可行。

如果不变形，还是利用函数的观点如何理解这个不等式呢？

可以将不等式ex>x+1，左右两边看成两个函数f（x）和g（x），这个不等式的解可以理解为当自变量满足什么条件时，可以保证左边的函数值大于右边的函数值。

从图3观察中可得，当x>0，f（x）位于g（x）的上方，对应的

f（x）>g（x），即ex>x+1。

则不等式ex>x+1的解集为x>0。

因此，在求解与不等式有关的问题时，借助函数的思想数形结合，可以迅速得到问题的解。解不等式的关键是根据题目的环境进行合适的变形，构造出常见的函数模型，通过图形求出不等式的解集。

参考文献：

[1]張中坛.浅谈不等式的应用[J].中学生数理化（学习研究），2017，126（3）：35.

[2]徐明亮.关于不等式证明的两种方法[J].中学生数理化（学习研究），2017，126（3）：36.

[3]侯有岐.函数不等式的证明技巧[J].高中数学教与学，2017，377（5）：15-17.

[4]王剑.例谈构造法解导数与不等式问题[J].中学生数学，2017，557（5）：16-17.

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