学生——教学的起点和归宿

单敏

【摘要】乘法分配律包含两种运算，其形式与交换律、结合律差别较大，学生已经掌握的运算律知识无法顺利迁移到乘法分配律的学习，所以本课一直是運算律教学的难点。本文从教材、教师、学生三个角度分析难点形成的原因，结合案例解析突破难点的方法，提出“以生为本”的教学策略——教师需把学生作为教学的起点和归宿，充分发挥组织引导的作用，帮助学生实现对知识的意义建构，提升数学素养。

【关键词】学生立场；数学素养

《义务教育数学课程标准》指出，教学的内容不仅包括教学的结果，也包括结果的形成过程和其中蕴含的思想方法。笔者认为运算律的教学，不仅要让学生认识和运用规律，同时还要让学生经历获得运算律的过程，积累探索、思考的经验；不仅要引导学生关注运算律等式的外在形式，更要重视对其本质意义的理解。乘法分配律是第八册的教学内容，教学实践告诉我们，学生学习这部分内容时困难重重。究其原因，是教材例题对知识的呈现还停留在形式感知阶段，缺少对算式内在规律的提炼；教师囿于教材编排，多注重对等式形式的感知，是缺少对知识内涵的挖掘；学生第一次遇到包含了两种运算的运算律，而且等式两边数的个数不相等，规律表达式的形式和内涵的复杂性让学生难以顺利掌握。这三方面的原因让乘法分配律的学习成为整数运算中的难点。

苏霍姆里斯基说，如果说有什么影响了我们的教学，那应该是学生已经知道了什么，即学生的学习现状是教学的出发点。鉴于以上的教学现实，教师要再丰实例题的内容，组织更有层次的探究活动，要引导学生发现两种算法之间的内部联系，巧妙利用教学媒体从形象到抽象帮助学生逐步理解规律，获得对知识的意义建构，积累数学研究的经验。简言之，教师要以学生现状为教学依据，而不以文本为起点，要以促进学生发展为教学追求，而非掌握规律形式为目的，最终发展学生的数学素养。

一、找准知识生长点，优化情境创设

教材例题如下：

教材往往呈现的是静态的知识，无法完整展开知识的发生发展过程。教材中仅针对情境提出了一个问题，列出了一组算式，据此进行的思考和研究难免单薄，学生只能关注算式的外部形式，发现不了两个算式的内在联系，所以举出的例子也只是停留在模仿阶段，这是对规律低阶水平的认识，如果在未来学习中遇到变式，很容易混淆出错。所以在实际教学中教师对例题进行了改编，使情境更丰实，以帮助学生对知识进行更细致的加工。

【片段一】

1.出示例题，提出问题：你能用两种方法解决吗？（学生独立尝试。）

2.反馈：让学生说说方法，同时结合PPT课件直观演示两种方法之间的联系。

方法一： 方法二：

方法一：（6+4）×20，先算出共有10个20，然后算出10个20 是多少；方法二：6×20+4×20，先算出6个20是多少，再算4个20 是多少，最后算出一共是多少。

3.朗读等式，体会联系。师板书等式（6+4）×20=6×20+4×20，让学生齐读，体会算式等式两边在形式上的联系。

4.改编例题，再次体验规律。

学生列出算式，并连写成等式：（6+4）×8=6×8+4×8然后个别说说两种算法分别是怎么想的，并且再次用PPT 课件演示两种方法之间的联系，最后读一读等式。

方法一： 方法二：

5.再次改编例题，并提问：你也能用两种方法解答吗？

学生列出算式后，教师追问，这两个算式得数相等吗？不计算，怎么判断得数相等呢？此时，学生已经能清晰熟练地表达两个算式为什么得数相等。

【思考】建构主义观点认为，儿童的学习总是和一定的情境相关联，概念学习的过程不能逾越表象的建立阶段，而直接实现对概念本质的理解。乘法分配律在学生以往的学习和现实生活中有非常丰富的原型，只是学生在学习这个规律之前，对它的认识还停留在无意识阶段。现实情境的作用如果仅用于提供一个供研究的算式，则没有把数学知识与学生已有的学习经验相联结。这里教师通过组织学生经历三次解决同一情境、相同模型问题的过程，熟悉两种算式的形式关联，给探索规律以丰富的经验支撑。同时教师发挥教学媒体的作用，直观演示两个算法之间的联系，并且让学生说说“不计算怎么判断两个算式相等”，帮助学生从形象思维向抽象思维过渡，逐步脱离情境掌握算式之间本质关联，实现意义理解。对例题的精加工使学生对算式结构形成清晰的表象，从而为下面进行的比较、分析、概括、抽象等数学活动奠定基础。

二、体验规律普遍性，丰富探索层次

乘法分配律是客观存在于数学知识系统中的运算规律，但是其学习对象是儿童，所以对它的认识不仅要遵循数学的逻辑规律，也要遵循儿童的认知发展特点。

【片段二】

1.教师指示片段一中得到的三组等式，提问：（1）左边的算式有什么相同之处？（2）右边的算式有什么相同之处？（3）左边和右边的算式有什么联系？让学生先在小组里交流想法，然后全班交流。

生1：左边都是先算两个数的和，再乘一个数，右边是先算出两个乘法的积，再相加。（教师相机用不同笔色描出运算符号）

生2：左边算式有3个数，右边却有4个数，有一个数，在右边出现两次。（教师相机让学生举例说一说）

生3：右边的乘法是把用原来括号里的数乘括号外面的数。（让学生看板书举例说一说）

……

2.教师提出探究要求：像板书上这种形式的等式，你还能再写几个吗？（学生独立尝试）

反馈学生算式，教师板书。

（10+20）×8=10×8+20×8

（7+5）×40=7×40+5×40

……

教师追问：你们计算这些算式的得数了吗？（学生：没有！）

再追问：没有计算，你们怎么确定能用等号连接成一个等式呢？你们能像例题中的算式一样解释一下为什么左右两边相等吗？

生：左边有（10+20）等于30个8，右边10个8，加上20个8，也是30个8，所以相等。

……

【思考】儿童对数学的学习是从情境开始的，但最终要走向“去情境化”，实现对数学的抽象认识。在这个片段中，学生经历了两次重要的数学抽象，第一次是从板书算式中发现等式特征，这是对等式形式的有意识认知，当学生有所发现时，教师没有急于指导学生提炼规律的表达方式，而是让学生进行第二次数学思考——根据算式特征再写几组这样的等式，并引导学生模仿例题的模型，用乘法的意义解释等式成立的原因，学生能顺利解释其原因。以往在教学中我们发现学生对表达等式为什么成立显得困难，原因就是教学中忽视了规律模型在现实生活中的普遍性，割裂了二者之间的联系。而这一课中学生第一次观察的这些算式都来自具体情境，有直接经验做思考基础，有表象做思维支撑，同时这两次数学思考又都脱离了原有情境而进行，使學生经历了“去情境化”的过程，从而跳出了原型，逐步实现数学化。学生经历了从个别到一般，从数学的外在现象到内在本质的思维过程，符合学生仍以形象思维为主、抽象思维初步发展的规律，此时乘法分配律的揭示与提炼已是呼之欲出了。

三、感悟数学方法，规范提炼表达

【片段三】

教师指着黑板上所板书的所有算式提问：像这样的算式你写得完吗？（学生：写不完！）

师：那这样的算式你能用一个算式或者一句话全部总结出来吗？先自己尝试说一说，写一写，再全班交流。

反馈：

生1：我发现算式两边是相等的。

生2：一个数加另一个数，再乘一个数等于前面的数乘这个数，后面的数也乘这个数，再加起来。

生3：（一个数+一个数）×一个数=一个数×一个数+一个数乘一个数。

生4：（甲数+乙数）×丙数=甲数×丙数+乙数×丙数。

生5：（a+b）×c=a×c+b×c。

……

【思考】乘法分配律是一个运算规律，规律的学习必定要经过“发现—归纳”的过程。小学数学中对规律的学习大多是建立在不完全归纳的基础上的。学生的能力差异客观存在，不同学生对知识的感悟、归纳的水平、程度各不相同。以上片段中，对于所探究的知识的提炼表达，也不尽相同。虽然不同的学生归纳的形式不同，但是都表现出了很大的创造性。对于儿童来说，理解他人的想法，也可以完善和修正自己的认识。教师在反馈时有意按照从浅显到深刻，从片面到全面的顺序进行展示，让全体学生经历从直白表达到抽象表达的提炼过程，如此每个层次的学生都有收获和发展。

四、反思学习经验，提升数学素养

【片段四】

揭示乘法分配律后，教师引导学生进行两次回顾反思。

1.回故整个研究过程：解决实际问题——发现算式特点——仿照自己列式——总结得出规律。

回想一下我们的研究过程：

解决实际问题，得到等式

观察等式，发现特点

自己列 式

概括等式，归纳运算律

（a+b）×c=a×c+b×c

2.展示乘法分配律在两位数乘两位数、长方形的周长等学习中的使用。

【思考】数学活动是学生积累数学学习经验的重要载体，数学活动经验的积累是贯穿于数学学习的整个过程，但是具有一定的层级性：是在做的过程中习得和积累，并在反思的过程中得以提升的。通过回顾反思的过程可以让学生清晰地看到知识从哪里来，怎么来的，又到哪里去。反思活动下，使学生的思维由原来对于相关规律的不自觉认识转向更为自觉的状态，使原有的感性经验改造和提炼，获得对数学知识的理性理解，实现从低层次向高层次的生长。

纵观本课的教学实践，教师从学生立场理解教学难点，突破了传统的运算律教学过度依赖练习、以知识为本位、教师为中心的课堂结构，以学生的现实水平为起点，在情境创设和规律探究的环节用了较浓重的笔墨；以促进学生认知和思维发展为教学的归宿，引导学生透过乘法分配律的数学现象追寻本质意义。作为学习的主体，学生在教师引导下，完整地经历了从直观思维到表象思维，再到抽象思维的数学建模过程，实现对知识的意义建构。

《义务教育数学课程标准》（2011版）指出：“教学是教和学的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者、合作者。”教师对教学目标、重难点的把握、教学内容的呈现方式，课堂教学环节的设计和组织等都影响着学生的学习效果。教师对知识解剖的深度影响着学生思考的深度。要真正实现“以学生为中心”的教学，教师还要进一步摒弃以本为本、教师中心的传统观念，不仅在思想上，更要在行动上确立学生的主体地位，教师不越位，不缺位，以学生为教学的起点和归宿，才能真正提高课堂学习品质，提升学生数学素养。