立足生活经验 发展数学思考

朱长和

【摘要】分数是小学生需要着重理解和掌握的重要的数，这不仅仅是由于分数在我们的日常生活中有着极其广泛的应用，还因为学生通过分数的学习将有助于加深对整数和小数等知识的理解，进一步感受数学知识之间的内在联系，从而形成良好的知识结构。笔者教学过《分数的意义》之后有一些思考，我们在教学中要引导学生以生活经验为基础，帮助学生理解分数的本质内涵；要加强比较，促进理解提升；必须以数轴来强化分数的意义在“数”上的拓展，加深学生对分数意义的理解。

【关键词】 分数；本质；思考

分数是小学生需要着重理解和掌握的重要的数，这不仅仅是由于分数在我们的日常生活中有着极其广泛的应用，还因为学生通过分数的学习将有助于加深对整数和小数等知识的理解，进一步感受数学知识之间的内在联系，从而形成良好的知识结构。为此，在苏教版教材中，分三次来学习分数的意义，三年级时学生曾经初步认识分数，知道把一个物体、一个图形或由许多物体组成的整体平均分成几份，其中的一份或几份可以用几分之一或几分之几来表示。本单元主要是探索并理解分数的意义，探索并掌握分数的基本性质。在此之后，学生还将继续学习分数的四则运算和混合运算，学习依据分数的意义分析和解答相关的实际问题。通过这单元内容的教学，不仅可以扩展学生对数的认识，而且能够有效提升学生思维的抽象水平，促进其对现实生活中数量关系的进一步理解和把握。

一、以生活经验为基础，理解知识本质内涵

实践表明，学生的生活经验是教学内容的载体，是情感的诱因，是教学活动的平台。本节课中，引导学生在相对抽象的层面进一步理解分数的意义是教学重点，同时也是教学难点。学生对数学概念的理解从来就不是一蹴而就的，而是不断丰富、逐步完善、螺旋上升的过程。在构筑分数的概念时，主要分三个层次来帮助学生逐步丰富和完善对分数的认识。第一层次，出示蛋糕图、长方形、一米直条图和由6个圆圈组成的一个整体，引导学生联系在此前活动中对分数的初步认识，借助图形说说这4个分数所表达的意义，让学生说一说是把什么平均分成几份，表示这样的几份。第二层次，引入单位“1”的概念，加强对分数意义的理解。实践证明，在分数意义的抽象过程中，认识单位“1”是建立分数意义的重要环节，而准确建立单位“1”的概念则是重中之重，这一方面是因为只有建立单位“1”的概念，不同情境中的分数才会有更高层面的一致性，分数的大小比较以及相关的四则运算也才能合乎逻辑地实施；另一方面，只有真正理解单位“1”的概念，学生才能更好地解释具体情境中的分数含义，并在此基础上分析和解决相应的实际问题。教学中通过问学生，刚才平均分的对象是什么，答案可以是一个物体、一个计量单位，还可以是由许多物体组成的一个整体，告知学生这在我们数学上可以用自然数“1”表示，即单位“1”，并让学生说说生活中我们可以把哪些东西 当作单位“1”进行平均分，并展示“一群羊”“4千克苹果”“一条线段”“一堆圆片”，帮助学生丰富单位“1”的概念。第三层次，带入新知理解分数的意义，这里首先让学生用单位“1”平均分来分别解释、说明每个分数的含义；接着让学生综合这些分数“都是怎样得到的数”，思考不同分数表示的含义的共同点，抽象出分数的本质特征；然后依据感受到并交流出的本质特征，引导学生“说出怎样的数是分数”。出示“把（）看作单位‘1 ，平均分成几份，表示这样的几份，得到分数（）”模板，指名让学生说一说，并作相应板书。抛出问题“那分数是怎么得到的呢？”，就显得水到渠成了，“把单位‘1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数就是分数。”美国认知心理学家奥苏泊尔说过“影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学”。以上活动，从学生熟悉的生活经验和知识基础出发，有效唤醒学生原有“平均分”和“认识几分之几”的认识，经过三个层次的铺垫点拨，逐步抽象出分数的本质内涵。这样建立概念的过程，是一个感知具体事实，分析各个对象的含义，综合各个对象的共同特点，抽象一类事物的本质属性，进一步概括出概念的过程。这样的教学既有效尊重了学生原有的知识经验，适应了他们的学习需求，又加强了数学概念的抽象和表达过程，帮助学生进一步积累探索学习的经验，感受数学的基本思想。

二、加强比较，促进理解提升

數学课堂对我们教师的要求是不仅要传授知识和方法，更要注重学生思维品质的培养。有比较才有发现，为了让学生更好地从本质上理解分数的意义，本节课设置了三个比较环节。第一次比较，用分数表示涂色部分，师：“三幅图单位‘1相同吗？那为什么都用分数四分之一表示？”生：“都是把单位‘1平均分成4份，表示这样的1份，所以都用四分之一表示。”师：“对了，它们都是把单位‘1平均分成4份，表示这样的1份，所以都用四分之一表示，和单位‘1具体是什么没有关系。”第二次比较，师：“那是不是单位‘1是什么就不重要了呢？”出示，涂色表示出四分之一，师：“都是四分之一，为什么涂色三角的个数却不一样呢？”“看来单位‘1很重要，它决定着分数所对应的数量。第一幅图是4个三角的四分之一，所以涂1个三角；第二幅图是8个三角的四分之一，所以涂2个三角；第三幅图是12个三角的四分之一，所以涂3个三角。所以单位‘1很重要。”第三次比较，用分数表示涂色部分，“这一次单位‘1相同吗？涂色的方框的个数呢？既然都相同，为什么表示的分数却各不相同呢？”“这样看来，要准确表示一个分数，我们既要关注单位‘1是什么，还要关注单位‘1被平均分成了几份，表示这样的几份”，同时进行课件演示，联系上图，“被平均分成的份数就是分数的分母，表示的份数就是分数的分子，这就是分数的意义。”通过这样的三次层次的比较，为学生提供了丰富的感性素材，触发了思维的火花，让学生在求同辨异中主动进行抽象和概括，在思考中逐步明晰知识要点，在体验中领悟知识本质，并积累数学抽象的活动经验。而在教学中，则尽可能展示学生进行比较过程中的各种体验和感悟，帮助他们将模糊的感受明朗化、零散的体验系统化，从而实现数学活动经验的有效提升。

三、以数轴强化分数的意义在“数”上的拓展

我们知道分数既可以表示两个量之间的关系，同时也可以表示一个具体的数值，和整数相比，在刻画事物的量的特性上分数显得更加准确。本节课我们需要帮助学生体会：一是在随便两个分数间有若干个分数，着重让学生体验它的稠密性。二是在数轴上每个分数都有相对应的点。练习时，出示数轴（教学时说数直线），并说明：在数轴上，每一个数都有着对应的位置，比如我们之前学过的整数0、1、2、…可以这样表示，并标上数字，“哪一段可以用单位‘1表示呢？”师，“上面这些分数分别是将单位‘1平均分成几份，表示这样的几份？你能在数直线上找出这些分数的位置，并和大家说说你是怎么想的吗？”（在学生说的过程中，课件出示这些分数对应的点）适时追问：“在这条数直线上，除刚才这些分数以外，你还能找到其他的分数吗？说说这个分数的含义和在数直线上的大致位置范围。像这样的分数你找得完吗？”通过以上的活动延伸，就可以讓学生比较深入地体会分数和整数、小数一样也是一种数，初步感受分数的稠密性。

为了突破学生对分数的认识局限在0-1之间，在学生建立分数概念时，需要将学生的思维进行适当的拓展延伸。师：“在刚才的学习中，我们在数直线上找了一下分数对应的位置，那么请同学们继续看数直线，分数仅仅存在于整数0-1之间吗？在1后面你就找不到分数了吗？比如我们在这个位置找到了四分之一，并且在数轴上数出了2个四分之一、3个四分之一，你还能继续往下数吗？”学生会顺势数出：4个四分之一 ，并且能判断出4个四分之四就是1。之后老师让学生接着往下数5个四分之一，6个四分之一是……在数的过程中学生自然又会自我怀疑，这些数是不是分数了，这时老师相机引领学生理解这里究竟是多少（指着四分之五处）。学生经过思考，认为是四分之五，马上又有学生对此进行反驳，认为这个点所对应的分数应该比1大。教师这时及时追问：“在数直线上每一点都有对应的一个数，这个点对应的数显然比1大了，而且还不能用整数表示，那么它是几分之几呢？怎么表示呢？”这一问题正是学生思维冲突最强烈的问题，而教学实践表明，恰当的认知冲突对学生思维发展是至关重要的。学生就这一问题展开讨论，最后形成共识：这个分数比1大，由5个四分之一组成，是四分之五，而后面的分数则可以此类推，同时教师指出：像这样的分数，在后面我们将会进一步研究。在上述的教学中，学生根据以前的学习探究，对真分数已经能与数轴上的点进行了一一对应，但是由于之前没有接触过假分数，因此存在思维定式。今天的教学凭借数轴无限延伸的特征，让学生及时打破思维定式，凭着整数和小数的学习经验，引导学生进行知识迁移，感知在1后面还有无限多个分数，并且这些分数都比1大，同时通过这个过程，也可以让学生更好地理解整数、分数和小数之间的相互关系，从而促进良好认知结构的形成。