认知精制理论在变式教学中的应用实践

唐举

[摘 要] 以认知精制理论在陈述性知识中的广泛成功实践为背景，以探索在程序性知识中的应用为目的，在数学习题课教学中，师生共同从约束条件、函数形式、问题情境三个维度对问题进行变式，教学过程以学生解题—教师变式—学生变式为主线，以学生对变式的可行性分析和教师的点评为结束点，引导学生发现题目组的形式区别和本质联系，在程序性步骤上形成更强烈的信息刺激，达到对知识的精制；教学过程中，学生对解题明显更加积极，且更加主动去概括题目组的一般性解法。

[关键词] 认知精制；变式；程序性知识；分离参数；转化思想

认知心理学的研究证明：如果要使信息保持在记忆中，并与记忆中已有的信息相联系，学习者必须对材料进行某种形式的认知重组或精制。国内目前盛行的合作学习方式中，向他人讲述材料就是认知精制的过程，再比如联想记忆、编码记忆都是对原有内容的精制，极大地提高了记忆效率。但是，合作学习主要是针对陈述性知识的言语精制，专门针对程序性知识的认知精制学习方式鲜有文章介绍。数学是程序性知识占比最大的学科，在数学学习中，最大的困难是加工完信息A后，不知道使用哪种方法到达B，而这种方法可能是学生已经掌握的，自己却检索不出来。因此，数学迫切需要一种适合的认知精制学习方式。

基于以上理论，笔者在习题课教学中大胆尝试，以题目变式为主要教学方式，寻求知识方法的精制。

一、约束条件的变式——精制解题时的方法策略优化

原题：设函数[f（x）=x3-3x+a]，若该函数在区间[[0，2]]内有零点，则实数[a]的取值范围是________。

学生1：[f′（x）=3x2-3]，由单调性得[f（x）min=f（1）]≤[0]，[f（x）max=f（2）]≥[0]，得[-2]≤[a]≤[2]。

教师：很好，考虑到了极值，而且端点处也没有漏解。请同学们看变式：

变式1：设函数[f（x）=x3-3x+a]，若该函数在区间[[0，2]]内有[2]个零点，则实数[a]的取值范围是________。

学生1：方法一样，只要再求出极值[f（1）]，[f（x）min=f（1）]<[0]，[f（0）]≥[0]，得[0]≤[a]<[2]。

教师：为什么端点处一开一闭呢？

学生1：我是画图看出来的，要保证2个交点。

教师：有数形结合的意识，你能编个变式吗？

学生1：把题目中零点个数改为1个。

教师：好，它就作为我们的变式2。

变式2：设函数[f（x）=x3-3x+a]，若该函数在区间[[0，2]]内有1个零点，则实数[a]的取值范围是________。

学生1：只要再把图像往下拉动一点，保证[f（0）]在[x]轴下面，[f（2）]在上面，得到[-2]≤[a]<[0]。

教师：很形象，但是正确答案是[-2]≤[a]<[0]或[a=2]。为什么会漏解？ 怎样避免这种错误呢？

学生1：[a=2]时是个特殊情况，如果分离参数[a]，看成直线和一个固定图像的问题就很直观了。

教师：既然转化成横线与定图像的交点问题，那还可以怎么变呢？

学生1：还可以把区间改变。

根据学生想法，区间[[0，2]]改成[[-1，1]]，变式如下：

变式3：设函数[f（x）=x3-3x+a]，若该函数在区间[[-1，1]]内恒有[f（x）]≥[0]，则实数[a]的取值范围是________。

学生1：[a]≥[2]。

解析：其实，学生编制变式2的过程中，已经在无意识地对变式进行精制，因为精制作为一种对原有知识的精细加工过程，是对所学内容附加信息的过程，它可以是逻辑上的推理，也可以是對信息的扩展与延伸，增加已知的例证，补充某些细节，进行某种类推。在为本题备课时笔者发现，大多数学生用的都是不分离参数的解法，这也无可厚非，因为过程简洁且答案正确，但是原题蕴藏着很大的探究价值，题目中约束条件的改变，促使学生在思维定式中犯常规性错误。合理的契机引导学生对知识方法先“回炉”再进行精细加工，不仅掌握了分离参数法的“化繁动为简动”的妙处所在，更遵循了科学试错、对比记忆法的学习规律，使得学生的认知结构更加清晰和完善。

二、函数形式的变式——精制归纳时的思想本质理解

变式4：设函数[f（x）=x3-3ax+1（x∈R）]，若对于任意[x∈[-1，1]]，都有[f（x）]≥[0]成立，则实数[a]的取值范围是_______________。

学生的两种典型思路：

思路1：分离参数得[a]≤[x3+13x]，设[g（x）=x3+13x]，得[g′（x）=2x3-13x2]，令[g′（x）=0]得[x=2-13]，由单调性得[g（x）min=g（2-13）=2-23]，所以[a]≤[2-23]。

思路2：①[x=0]时，代入原式[0]≤[1]恒成立，[a∈R]，②[x∈（0，1]]时，[a]≤[x3+13x]，③[x∈[-1，0）]时，[a]≥[x3+13x]，后两种情况因为[x≠0]，在求[x3+13x]最值时出现困难。

教师：因为[x≠0]，[g（x）=x3+13x]的图像出现了渐近线，因此分离参数后函数图像变繁了，是否还有更好的办法？

学生2：原函数是三次函数， 可直接求导。然后讨论[a]的正、负、零三种情况，[a]>[0]时，再讨论[a]与[1]的大小，结合单调性即可得到答案。

教师：变式4中分离参数并非最优法，直接求导更加简单。

解析：两种方法究竟孰优孰劣，答案在数学的转化与划归思想里，因为分离不是目的，只是手段，分离参数是化繁动为简动，分类讨论是化整体为部分，数形结合是化数为形，三者又都归于转化思想。做题时只有上升到数学思想的层面，才能如登临绝顶，一览众山，否则，拘泥于方法的套路，必然会迷失在题海之中。原题的“回炉”和二次精细加工在信息源的周围添加了很多与之相关联的有用信息，提升了思维的高度，更精准地在储备的知识方法中找到合适的求解工具。endprint

三、问题情境的变式——精制审题时的信息联想记忆

变式5：设函数[f（x）=14x4-32x2+ax]，若该函数在区间[[0，2]]内有2个极值点，则实数[a]的取值范围是________。

学生3：把函数极值点问题转化成导函数零点问题，变式5即为[f′（x）=x3-3x+a]在区间[[0，2]]内有2个零点，和原题是一样的。

教师：这么快就解完了！既然又回归到原题，那过程就略去了，你还能再变式吗？

学生3：要是等价推导，可以转化成方程的解或者图像交点问题。

教师：很好，请同学们都来试试看，还可以怎么变。

下面整理出学生们写出的几种可行变式。

变式6：已知方程[x3-3x+a=0]，在区间[[0，2]]内有2个解，则实数[a]的取值范围是________。

变式7：设动直线[y=3x-a]与三次函数[y=x3]的图像在区间[[0，2]]内有2个交点，则实数[a]的取值范围是________。

解析：相同的数学问题常以不同的问题情境呈现，遇到不熟悉的问题情境，学生会思路受阻，无法将文字条件转化成代数形式。因此，在教学中，要注重知识方法的“成片开发”，梳理其纵横联系，揭示其本质属性。变式6与7的编制其实是将思维逆推一步，改变了问题情境，但是问题的本质完全没有变，这样的一种精制过程重在运用联想的记忆方法唤醒信息源与其他信息之间的联系和转化，体现了认知精制的根本目的——更长久地保持信息和更高效地使用信息。

以变式为载体的认知精制教学方式让学生在解题过程中透过现象发现本质，并自己编题，经过这样的精细加工之后，在原有的知识方法的旁边生发出了很多的相关内容，并合理有序地纳入到自己的知识方法体系中去，从而构建出一个连带反应更强烈的知识方法网络体系，以后只要出现一个关键词，便可以立即检索出很多相联系的重要信息。

在变式中巩固旧知识的记忆，在方法的优化上不断渗透数学思想方法，最终达到认知上的精制，这样的教学方式值得探索，希望更多的教育工作者参与到认知精制理论的教学实践中来。

参考文献

[1]Wittrock， M C. The Cognitive Movement in Instruction[J]. Educational Psychologist，1978，（77）：60-66.

[2]王坦.合作学习的理论基础简析[J].课程·教材·教法，2005，（1）：30-35.

[3]周国韬.也说精制——谈精细加工在认知学习中的作用[J].外国中小学教育，1994，（4）：10-14.

責任编辑 李杰杰endprint