试谈解题后再思考的教学价值

文/广州市第二中学 温晖

试谈解题后再思考的教学价值

文/广州市第二中学 温晖

日本著名教育心理学专家大桥正夫在他的《教育心理学》一书中指出，解决问题的过程一般包括“问题意识”“问题分析”“解决问题的行动”“检验结果”四个步骤。我们数学的教学，离不开解题教学。解题相应的也包括“审题”“分析探求”“解题行动”“解题回顾”（即再思考）四个步骤。若说“审题”是解题的起点，而解题后的“再思考”便是解题的归宿，它远比前面三步更为重要。

一、结果的正误，有利于学生思维严谨性的培养

严谨性是数学学科的特点之一。它要求对概念理解完整，准确；推理论证必须严密而有条理；叙述的结论必须正确而简洁。在教学中，教师如能不失时机地抓住学生在解题是由于思维的不严谨，对概念理解的不深刻，考虑问题不全面而导致的错误结果，有意识地启发，引发学生对解结果的正确作出进一步思考，以再思考中正确鉴别解题结果的真伪，辨清错误出在何处，等等。长此以往地加以训练和培养，不仅有利于学生对基本概念的进一步理解和巩固，而且有利学生思维严谨性的培养。例如，我们在《梯形中位线性质定理》的教学中，求证梯形的中位线等于梯形上、下两底和的一半。通过分析让学生掌握到证明梯形的中位线性质，可将该条中位线转化为某一三角形的中位线来解决。在引入辅助线时，有部分学生这样叙述的：如图：

①延长DC至G，使CG=AB，连接AG；

②连接AF，并延长AF交DC的延长线于G，使CG=AB。这样让EF转化为△ADG的中位线，利用三角形中位线的性质定理可得证，解完定理可得证。解完之后，学生喜颜悦色，对自己的证题结果及过程感到满意。教师于是发问：“你们对自己的证题过程感到满意吗？是否有新异？”有的学生说：“第一种方法新作的辅助线，在证题时，还应证A，E，G三点共线。”经片刻思考后，又有学生举手发言：“第二种方法所作的辅助线是错误的。”教师又问“为什么呢？”全班学生继续深入思考，有学生指出：“连接AF，并延长与DC的延长线交于G，但不一定CG=AD，应证明。”通过这样不断深入地引导学生去再思考，显然比教师直接指出以上两种辅助线的弊端要有价值得多，它对学生思维严谨性的培养是有益处的。

二、思考解题的基本规律，有利于学生归纳思维的培养

一类数学问题，其解法往往是有规律可循的。要减轻学生负担，让学生从题海中及时归纳总结其基本的解题规律，以达到举一反三，触类旁通之目的。教学中，教师若能经常启发，引导学生在解题之后去再思考一下，这类数学问题的基本解题规律是什么？则不仅有利于学生对基本技能的掌握和运用，而且有利于学生归纳思维能力的训练和培养。

例如，我们在教学一类有关“一次函数图像及二次函数的判别”时，先让学生通过观察一次函数的图像y=kx+b（k≠0）。关键由k，b的符号决定，而k，b的符号有以下几种情况：k>0，b>0；k>0，b<0；k<0，b>0；k<0，b<0。

学生观察以上四种情况的图像后，归纳出以下结论：

①当直线与x轴正方向的夹角为锐角时，k>0，反之亦然；

②当直线与x轴正方向的夹角为钝角时，k<0，反之亦然；

③当直线在y轴上的截距为正半轴时，b<0，反之亦然；

④当直线在y轴上的截距为负半轴时，b>0。

有了以上的规律，无论所给的图像多么复杂，学生判别起来亦就简单了。

例如，在同一个坐标系内，函数y=ax2+b与y=ax+ b（ab≠0）的图像大致是（）

学生们有了以上的规律可以这样来分析：A.由一次函数图像可见该直线与x轴正方向的夹角为钝角，所以a<0，与二次函数图像开口方向向上a必须为a>0矛盾，显然A错；B.由一次函数图像可见该直线与x轴正方向的夹角为锐角；所以a>0，则二次函数图像y=ax2+b其开口方向应向上，而图所给为向下，矛盾，不选B；C.一次函数图像a>0，b>0，则二次函数图像开口方向应向上，在y轴上的截距应在y轴的正半轴，所示图不满足，不选C；所以最后答案只能选D。以检验结果来看，答案D，也完全满足条件。

一个数学问题解决之后，教师有意识地启发引导学生再思考，并归纳总结其基本解题规律，这比学生单纯地解两道题的意义更大。它的教学价值不仅使学生掌握了解这类问题的基本规律，而且使学生学到了由个别到一般的数学思想方法，训练和培养了归纳思维能力。

三、思考解题的不同方法，有利于学生发散思维能力的培养

对于一道数学题，往往由于审视的方位不同，而得到多种不同的解题方法。教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发引导学生在掌握基本解法的基础上，去再思考，再寻求更好、更美的解法，这不仅有利于学生对基础知识的纵横联系和沟通，而且有利于学生发散思维的训练和培养。

解法1：作高FH1，AH2，

学生解完之后，教师首先肯定了这一解法，并指出要学生分析观察图形中△BFG及△BAD有否公共部分，学生分析到有一个公共的角B。学生深入思考后，以获得如下几个解法：

解法3：连结CF（或AG），

解题之后，在学生学完基本解法的基础上，教师应进一步引导学生再思考，训练，培养学生发散性思维能力。要使学生能这样再思考，并非一日之功，而必须在教师的指引下，经常性地加以训练。

我接手带的学生从起始年级到毕业年级，通过三年“再思考教学思维训练和培养”，无论是解决数学问题的技巧技能和思想方法，还是思考数学问题的思维品质和能力都有较大提高。同时，这也为培养学生学习的终极目标——学会思考，奠定了基础。

责任编辑 邹韵文