具有非负位势的Schrödinger算子在Lp(·)(n)上的有界性①

吕 青 赵 凯

(青岛大学数学与统计学院,山东青岛266071)

具有非负位势的Schrödinger算子在Lp(·)(n)上的有界性①

吕 青 赵 凯

(青岛大学数学与统计学院,山东青岛266071)

基于具有确定位势的Schrödinger算子在经典Lebesgue空间上的有界性,利用其被Hardy-Littlewood极大算子控制以及Hardy-Littlewood极大算子在变指数Lebesgue空间上有界的结果,得到了具有非负位势的Schrödinger算子在变指数Lebesgue空间上的有界性.

Schrödinger算子,非负位势,变指数Lebesgue空间,Hardy-Littlewood极大算子,有界性

0 引言

设P=-Δ+V(x)是n(n≥3)上的Schrödinger微分算子,其中V(x)是非负但不等于零的位势,且属于反向Hölder类Bq,对于某个记T1=m(·,V)2(-Δ+V)-1,T2=V(-Δ+V)-1是具有非负位势的Schrödinger算子. 在文献[1]中ShenZhongwei已经研究了T1=m(·,V)2(-Δ+V)-1,T2=V(-Δ+V)-1,T3=(-Δ+V)iγ,T4=▽(-Δ+V)-1/2,T5=▽(-Δ+V)-1▽,T6=▽2(-Δ+V)-1等许多具有非负位势的Schrödinger算子在经典的Lebesgue空间上的有界性.Sugano在文献[2]中用二阶一致椭圆算子L0代替Δ,令L=L0+V,V属于反向Hölder类,对具有非负位势的算子Vα(-Δ+V)-β,Vα▽(-Δ+V)-β进行估算,得到了算子VL-1,V1/2▽L-1在加权Lp空间和Morrey空间上有界. 2004年,朱月萍[3]给出了与Schrödinger算子相关的Riesz变换的Lp估计.即算子▽L-1/2，V1/2L-1/2在Lebesgue空间上有界,其中是可测函数且满足一定条件.众所周知,函数空间理论是调和分析的重要内容.变指数函数空间最早源自于Orlicz的工作,尤其是1991年Ková和Rákosník的研究使得变指数函数空间有了突破性进展,他们给出了n上的变指数Lebesgue空间和Sobolev空间的许多性质,之后引起了众多学者的研究兴趣(参见文献[6-10]及其参考文献等). 例如,在文献[8]中Diening在假设p+<∞,p(·)∈LH0以及p(·)在一个足够大的球外是一个常数的条件下证明了Hardy-Littlewood极大算子是有界的.此时,我们感兴趣的是与具有非负位势的Schrödinger算子相关的算子Tj(j=1,2)在变指数Lp空间上的有界性.

1 基本概念和引理

(1)

反向Hölder类Bq的一个显然性质是,如果V(x)∈Bq,对于某个q>1,则存在ε>0使得V(x)∈Bq+ε,其中ε仅依赖与n和(1)式中的常数C.

变指数Lebesgue空间Lp(·)(B)定义如下.

给定B⊂n,对一个可测函数p(·):B→[1,∞),若存在某个λ>0,使得

则称f∈Lp(·)(B).在范数

下,Lp(·)(B)是一个Banach函数空间,并称其为变指数Lebesgue空间或变指数Lp空间.显然,如果p(·)=p,则Lp(·)(B)就是Lp(B),即Lp(·)(B)是经典的Lebesgue空间Lp(B)的一种自然推广.变指数Lp空间也是Musielak-Orlicz空间的一种特殊情况.

称指数p(·)满足局部log-Hölder连续条件,是指存在一个常数C>0使得下式

(2)

成立,并记作p(·)∈LH0.

称p(·)满足一致连续条件,是指存在一个常数c>0使得下式

(3)

成立.

设f是n上的局部可积函数,Hardy-Littlewood极大算子M定义为

其中B=B(x,r)={y∈n:|x-y|

用P(n)表示n上满足以下条件的所有p(·)构成的集合

(4)

并用p′(·)表示p(·)的共轭指标,即1/p′(x)+1/p(x)=1.

用B(n)表示P(n)中所有使Hardy-Littlewood极大算子M在Lp(·)(n)上有界的函数p(·)构成的集合.

注1 显然对于每个x∈n有0

其中Γ(x,y)是算子-Δ+V(x)在n上的基本解,C仅依赖于n和(1)式中的常数.

引理2 如果p(·)满足(2) , (3)和(4)式,则Hardy-Littlewood极大算子M在Lp(·)(n)上是有界的.

2 主要结论

‖m(x,V)2(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C仅依赖与n和(1)式中的常数.

证明 设Γ(x,y)是算子-Δ+V(x)在n上的基本解,则对于f∈Lp(·)(n),有

因此,只要证明以下不等式即可,

‖m(x,V)2u‖p(·)≤C‖f‖p(·).

而u(x)又可以写成以下两部分的和

‖m(x,V)2uj‖p(·)≤C‖f‖p(·),

对于j=1, 2都成立.

因为,

故可得|m(x,V)2u1(x)|≤CnMf(x).

设k>2,则|u2(x)|≤Cn,kr2Mf(x), 进一步得到|m(x,V)2u2(x)|≤Cn,kMf(x).

再由引理2可得

‖m(x,V)2(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C仅依赖于n和(1)式中的常数.证毕.

‖V(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·).

则有

|V(-Δ+V)-1f|≤C0|m(·,V)2(-Δ+V)-1f|.

故由定理1直接得到

‖V(-Δ+V)-1f‖p(·)≤C‖f‖p(·),

其中C>0仅依赖于n,C0以及(1)式中的常数.

[1]ShenZhongwei.LpestimatesforSchrödingeroperatorswithcertainpotentials[J].AnnInstFourier,1995, 45(2)：513-546.

[2]SuganoS.EstimatesfortheoperatorsVα(-Δ+V)-βandVα▽(-Δ+V)-βwithcertainnonnegativepotentialsV[J].TokyoJMath, 1998,21(2)：441-452.

[3]ZhuYueping.LpestimatesforRiesztransformassociatedtoSchrödingeroperator[J].JMathematicalResearch&Exposition, 2004, 24(2)：231-238.

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[13]MusielakJ.Orliczspacesandmodularspaces[M].Berlin：SpringVerlag, 1983.

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Boundedness of Schrödinger Operators with Nonnegative Potential on Variable Lebesgue Spaces

LV Qing ZHAO Kai

(School of Mathematics and Statistics,Qingdao University, Qingdao 266071, China)

Based on the boundedness of the Schrödinger operators with certain potential on classical Lebesgue spaces, by using the Schrödinger operators are controlled by the Hardy-Littlewood maximal operatorM, andMis bounded on the variable Lebesgue spaces, the boundedness of the Schrödinger operators with nonnegative potential on variable Lebesgue spaces is obtained.

Schrödinger operator, nonnegative potential, variable Lebesgue space, Hardy-Littlewood maximal operator, boundedness

2017-02-15

国家自然科学基金项目(11471176)资助

赵凯，E-mail：zhkzhc@aliyun.com.

O174.2

A

1672-6634(2017)02-0007-04