“杨辉三角”新的表现形式

【摘 要】“杨辉三角”新的表现形式来源于自然数的幂的游戏中，它表现出公差为1的等差数列有起点连续项的正整数次幂间的规律，与“二项式定理”形（杨辉三角）同而神不同。重点处做了尝试性的证明。

【关键词】杨辉三角；二项式定理；等差数列；连续；“倒三角”

我们知道，“杨辉三角”是通过“二项式定理”表现出来的，而我在连续自然数的幂的游戏中，发现了它的一种新的表现形式，倍感新鲜有趣，愿与爱好者们共赏！

（a+1）-a=1！

（a+2）-2（a+1）+a=2！

（a+3）-3（a+2）+3（a+1）-a=3！

（a+4）-4（a+3）+6（a+2）-4（a+1）+a=4！

（a+5）-5（a+4）+10（a+3）-10（a+2）+5（a+1）-a=5！

……

C（a+n）-C（a+n-1）+…+（-1）C（a+n-r）+…+（-1）Ca=n！

（r=0，1，2，…，n） ①

（表1）

在表1中显现着“杨辉三角”，可知，正整数n的取值一确定，各等式的右边均为常数，且这个常数与a的取值无关，a突破了原来自然数的定义，可以是任意数。

要证明等式①，首先要引入为证明它而特别设计的关键性的组合公式：

C（n+1-m）=（n+1）C（n-m+1），（m=0，1，2，…，n） ②

公式②的证明：Qn≥m

∴n-m+1=n+1-m≥1

（n+1）C（n-m+1）=（n+1）（n+1-m）

=（n+1-m）

=C（n+1-m）

即公正②得证

等式①的证明：

（1）a为任意数，当n=1时，（a+1）-a=1！，等式①成立

（2）a为任意数，假设当n=k时，等式①成立，即

C（a+k）-C（a+k-1）+…+（-1）C（a+1）+（-1）Ca=k！ ③

C（k+1）=Ck+C（k-1）+…+（-1）C2+（-1）C1=k！（a=1） ④

那么，当n=k+1时，

⑤

（由②得）

=（k+1）k！ （由④得）

=（k+1）！

这就是说，当n=k+1时，等式①也成立。

因为对任意数a等式③右边均为常数k，所以，我们只取a的特殊值来表示等式左边等于常数k！即可，如a=1时得等式④。同理，当n=k+1时，a=0时得式⑤，如果为任意数时等式①左边可以不相等，则与（1）和n=k时成立相矛盾，也就是说，n的取值一确定，无论a取何值，等式①左边都相等，这是隐含的已知条件。

根据（1）和（2）可知，a为任意数，等式①对于任何正整数n都成立。

从上可知，等式①与“二项式定理”所表现出来的形（杨辉三角）同而神不同。等式①要复杂，表现的是公差为1的等差数列以a为起点的连续n+1项为n次幂时相互间的规律。如下推广仅供参考：

（a+n+1）C（a+n-m+1）=C（a+n+1-m），（a+n≥m，a=0，1，2…）

Cn-C（n-1）+…+（-1）C（n-r）+…+（-1）C0=n！ ⑥

C（a+n+2）+C（a+n）+…=C（a+n-1）+C（a+n-1）… ⑦

其中，等式⑥是等式①特例，它表现的是以0为起点的n+1个連续自然数为n次幂时相互间的规律。

最后，特把前面所说的连续自然数的幂的游戏列表举一个简单的例子，并说明。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……

1 3 5 7 9 11 13 15 17 ……

2 2 2 2 2 2 2 2 ……

0 0 0 0 0 0 0 ……

（表2）

从表2可知，随着幂指数的逐步增加，我们就可以得到一系列等式（表1）。在表2中，n为常数2，特令a、a+1、a+2、a+3、为4个连续自然数，那么得：

[（a+2）-（a+1）]-[（a+1）-a]=2

∴（a+2）-2（a+1）+a=2！ ⑧

同理，（a+3）-2（a+2）+（a+1）=2！ ⑨

由⑨和⑧方程两边相减得：（a+3）-3（a+2）+3（a+1）-a=0

∴（a+3）+3（a+1）=3（a+2）+a

∴C（a+2+1）+C（a+2-1）=C（a+2）+C（a+2-2）⑩

这等式⑩就是等式⑦的特例。到此，我有一个疑问，“杨辉三角”是否来源于这些“倒三角”呢？希望我这自娱自乐的游戏对有兴趣者或者同学们能有所启发吧！

【作者简介】

向红（1966.1—），男，土家族，高中学历，农民数字游戏迷，湖北省荆州市公安县，数学游戏。