高中数学中球的应用

周进壮

摘 要：高中数学教师在立体几何教学中，主要注重培养学生研究几何体的应用意识。学生对球的知识应用缺乏一个整体的分析，也就很难对所面临的问题有很好的把握。根据这一原因，教师在日常教学过程中应该经常帮助学生掌握研究几何体的基本方法。下面从几个方面研究球的应用。

关键词：几何体；组合体；四面体

一、球与棱柱的组合体问题

常见的有关正方体的内切球与外接球问题：

设正方体的棱长为a，求：（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径；（3）外接球半径。

（1）截面图为正方形的内切圆，得R=■；

（2）对于与正方体ABCD-A的所有棱都能相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，作截面图，易得R=■a。

注意，学生在解答这一类问题时，关于外接球问题，先要确定柱体上下底面的外接圆的圆心，连接两个外接圆的圆心确定连心线的中点即为外接球的球心，然后连接球心与柱体的任意一个顶点，再把柱体的顶点与外接圆的圆心连接，构成一个直角三角形，然后利用勾股定理解答球的半径。

例1.已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面

上，若AA1⊥平面A1B1C1，A1B1⊥B1C1，AA1=8，A1C1=2■，则球O的体积为（ ）

A.200π B.■ C.■ D.■

答案：C

二、球与棱锥的组合体问题

在解答有关立体几何中球与棱锥的组合体问题时，学生往往简单地根据题意可以画出一个简单的图形，但由于我们的学生自从接触了空间向量之后，似乎已经不会利用实际的图形进行解

答，因为有关球的实际应用很难利用空间直角坐标系求解，又由于我们大多数的学生缺乏对几何体尤其是有关球的组合体的整体分析，更是无从下手，也就很难理解问题的实质。所以，我们要让学生学會利用好有关锥体轴截面的不同特征来解决，让学生学会从围成的空间几何体的面分清所利用的图形，注意位置关系的变化。有些特殊的几何体，例如与正四面体有关的内切球、外接球的半径及性质应该熟练推导，最好能记住特殊的结论。

正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r=3：1。

外接球半径：R=■a

内切球半径：r■a

特殊结论：正四面体与球的接切问题，可以引导学生通过线面的位置关系解答，而且还需要学生注意同一个正四面体的内切球和外接球的两个球心是重合的，注意记住球心为正四面体高的四等分点，也就是正四面体内切球的半径r=■h（h为正四面体的高），且正四面体外接球的半径R=3r。

例2.已知三棱锥O-ABC中，A、B、C三点均在球心为O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，若求O的体积为■，则三棱锥O-ABC的体积是 。

答案：■。

解析：三棱锥O-ABC中，A、B、C三点均在球心为O的球面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，则AC=■，所以SΔABC=■×1×1×sin120°

=■，

设球的半径为R，由球的体积V=■πR3=■，解得R=4.

设ΔABC外接圆的圆心为G，所以OG垂直于平面圆G，外

接圆的半径GA=■=1

所以OG=■=■=■

所以三棱锥O-ABC的体积为V=■SΔABC·OG=■·■·■=■

对于四面体内切球问题，关键是根据“球心到四面体每个面的距离等于球的半径”找等量关系。

注意：我们引导学生在解决有关球与正四面体四个面相切的问题时，要注意球是正四面体的内切球，球心到正四面体四个面的距离相等，都为球半径。可以利用等体积转换的方法进行解答，这样求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决，这样一来问题就可以解答了。

例3.三棱锥P-ABC中，底面ΔABC满足BA=BC，∠ABC=

■，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为■，

当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为（ ）

A.2 B.3 C.2■ D.3■

解：设AB=BC=x，

OD=■ VP-ABC=■PDSΔABC=■

所以PD=■=R+■

所以

54R=■+■x4=■+■+■x4≥33■=■

所以R≥■，当且仅当■=■x4时取到等号，x=3，则PD=3

所以P到面ABC的距离为3。

注意：对于“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要包括特殊的点、线、面之间的关系，分析空间几何体重要的是能利用空间几何体本身的特点，抓住棱与面的关系，建立有关的等量关系，进行比较细致的研究并且作出准确的分析与判断，这是解决有关球的内切和外接问题的重要前提。

三、多面体通过补形的方法研究外接球与内切球

将多面体补成长方体或正方体的方法是，对于正方体或长方体来说，它们的外接球可以通过研究几何体的体对角线完成，若

能将一个多面体变成一个长方体或正方体，使其顶点与长方体或正方体的八个顶点重合，则这个多面体的外接球就是对应的长方体或正方体的外接球。