有关梯形的面积的知识建构

王进

摘 要：人教版小学数学教材在编排时集中体现了新课程的理念和要求，其知识的编排力求“符合小学生的数学认知特点，同时以螺旋式的方式、由易到难、由浅入深、层层递进，生动、形象地将数学知识呈现出来”。因此，在编排时将同一学习内容分成几个阶段放在不同的年级进行教学。

关键词：梯形；计算公式；数形结合

在实际教学中，也正是由于教学教材这样的编排方式，导致学生对知识的遗忘速度相当快。这是因为绝大多数学生对数学知识的认识是非常零散的，感觉它们之间彼此是互不相干的。这和他们对数学知识的系统认识有关。

梯形的面积计算公式在数学中的应用是非常广泛的。人教版小学五年级上册，老师在教会学生梯形的面积计算后，就要引导学生进一步探究归整以下知识。

一、梯形与其他平面图形

1.梯形与三角形

如果将梯形的上底无限缩短，结果会怎样？当上底的两个端点合二为一时，梯形就变成了三角形。而此时梯形的面积公式S=（a+b）h÷2就变成了S=（a+0）h÷2，亦即三角形的面积公式S=ah÷2。因此，三角形可以看做上底为0的特殊梯形。

2.梯形与平行四边形

将梯形（非直角梯形）的上底沿一端延长，当延长至和下底一样长时，它就变成了平行四边形。此时梯形的面积公式S=（a+b）h÷2就变成了S=（a+a）h÷2，化简之后就变成了S=ah，亦即平行四边形的面积公式。因此，平行四边形可以看做上底与下底相等的特殊梯形。

3.梯形与长方形（或正方形）

将直角梯形的上底向非直角的一端延长，当延长至和下底一样长时，它就变成了长方形。此时梯形的面积公式S=（a+b）h÷2就变成了S=（a+a）h÷2，化简之后就变成了S=ah，这里的h相当于长方形的宽。因此，长方形（或正方形）可以看做上底与下底相等的直角梯形。

通过对梯形做适当变形，同学们就会发现，这几种平面图形看似独立，其实有内在的联系。

二、由“形”到“形”

前一个“形”指的是数学中的形，后一个“形”指的是生活中的形。人教版小学数学五年级上册第98页有一道这样的题目（如图）：

这堆圆木堆放的形状从一端看近似于梯形，并且堆放有一定的规律性：每层的数量由下而上依次递减1。

根据题中提示我们知道，计算圆木的数量用到了梯形的面积公式。即把顶层根数看作梯形的上底，把底层根数看作下底，把层数看作高，因此，圆木的数量=（顶层根数+底层根数）×层数÷2。由此可以看出，在生活中，只要是按此种方式堆放成梯形状的物体都可套用梯形的公式来计算数量。

三、数形结合

数形结合是研究数学和学习数学知识的一种很好的方法。有时需要由数到形，有时需要由形到数。

在上面的例题中，如果不是按照梯形的面积公式来计算圆木的数量的话，我们通常会直接按照以下算式来计算圆木的数量：2+3+4+5+6。从左到右数字依次相加，就求出圆木的数量了。但是当要相加的数字变大增多时，我们还会按这种方法来求和吗？例如求23+24+25+…+128+129+130的和是多少？显然难度增大。但是上面的例题给我们提供了一种很好的解决“求几个连续的自然数的和”的方法，那就是用梯形的面积公式。对于一列连续的自然数，我们都可以把第一个数作为上底，把最后一个数作为下底，把它们的个数作为高，利用梯形面积公式求得它们的和。

继续引导学生探究：1+3+5+…+135+137+139=？2+4+6+…+296+298+300=？通过探究发现，“求几个连续的奇数的和”或“求几个连续的偶数的和”，梯形的面积公式仍然适用。比如求1+3+5+…+135+137+139的和，把1看做梯形的上底，把139看做下底，数的个数（1+139）÷2看做高，运用梯形的面积公式解答。列式：

1+3+5+…+135+137+139

=（1+139）×[（1+139）÷2]÷2

=140×70÷2

=4900

在教學过程中，老师通过层层设疑，让学生不断地分析、综合、运算、判断推理，将这些知识融会贯通，形成新的知识网络，构建起新的认识结构，完成有关梯形的面积的知识建构。同时，经过这样的拓展与迁移，也培养了学生的数学素养，为学生的进一步学习打下坚实的基础。

编辑 李博宁