5～7 岁儿童数学过程性能力的理论构建及考察量表的初步编制

周晶　郭力平

一、前言

2000年，美国数学教师理事会（NCTM）颁布了《美国学校数学教育的原则与标准》，提出了5条过程标准，每条标准描述的是一项数学过程性能力，分别是问题解决、数学推理与验证、数学交流、数学关联、数学表征。过程性能力一经提出，其对儿童发展的重要性就得到了众多研究的证实。很多研究指出，以问题解决为基础的教育法能够提高学生在任务中的表现（Serafino & Cicchelli， 2003； Maccini & Gangon， 2000； Bottge et al.， 2004），对学生的创造性和自我效能感也会产生积极影响（Chung & Ro， 2004）。一项长达五年的纵向研究表明，数学推理能力是学生数学成绩最为有力的预测因子，学生的推理能力越强，在学校的数学成就越高（Nunes， Bryant， Barros， & Sylva， 2011； Nunes et al.， 2007）；幼儿园阶段的推理能力能够预测儿童在小学一年级的数学成绩（van de Rijt， van Luit， & Pennings， 1999）。数学交流在促进儿童数学理解方面具有重要作用。关于合作学习的元分析指出学生可以通过合作学习获益（Johnson & Johnson， 1989； Slavin， 1983）。学生在学业成绩、批判性思维、学习动机、自尊和自信、创造性、概括化的能力、问题解决以及教学满意度方面都有所提升；在焦虑、压力、缺勤、拖拉等方面的表现有所下降（Lenning & Ebbers， 1999）。NCTM坚信当“学生在数学观点之间建立联系时，他们对这些观点的理解会更深，更持久”。豪斯（House， 2004）分析了1999年TIMSS 研究的数据，发现那些能够利用日常生活中的知识经验去解决问题的学生在测验中的得分更高。NCTM指出，数学观点以何种方式表征是数学理解的基础。莱仕等人（Lesh， Post， & Behr， 1987）指出，通过加强学生的表征能力，学生的概念理解也提高了。

数学过程性能力的获得，对儿童来说至关重要。第一，过程性能力是支持儿童获得数学学习内容的有力支撑，它强调了获得和运用知识的方法（NCTM， p37.）。从这一角度讲，过程性能力的获得能够帮助儿童顺利地在各个阶段的数学教育之间过渡，是有效衔接各个阶段数学教育的重要保证，也是一个人终身学习、终身发展的前提。第二，过程性能力是儿童学习与发展的重要目标。一直以来，在我国早期教育中，对数学教育的含义的理解有一定的偏差，常常把数学教育理解为算术教育或计算教育（赵振国，2009），在教育实践中忽视了儿童在学习过程中表现出的一些能力，这导致了我国早期数学教育的小学化倾向比较严重。因此，从这一角度出发，数学过程性能力的提出，对于预防小学化倾向也具有重要意义。第三，从评价的角度来讲，提出数学过程性能力，能够帮助评价主体更好地从过程的角度来理解儿童的学习与发展，从而改变目前这种重内容、轻能力的评价现状。而评价是制定教育政策最为有力的依据，也是教育作出改变的一个重要依据（Broadfoot， 1996a）。从过程的角度评价儿童的数学学习，也是提高数学教育质量的一个有效途径。

2012年，《3-6岁儿童学习与发展指南》（以下简称《指南》）颁布，从学习与发展目标和教育建议两个部分对儿童学习与发展的五个领域进行了描述。其中，学习与发展目标描述了3～6岁儿童应该知道什么、能做什么。但是，《指南》并没有针对儿童应该具备哪些数学能力，特别是过程性能力做出说明。可以说，《指南》更多地只是关于3～6岁儿童学习与发展的内容标准。作为全国指导性的文件，《指南》对儿童数学过程性能力的重视不足，可能会向幼儿教师传递这样一个信息：数学知识的学习比能力的获得更重要。因此，会导致教师在实际教学过程中重视儿童数学知识内容的学习与技能的获得，而忽视数学过程性能力的培养。同时，也会导致对儿童的数学水平进行评价时，将数学知识内容与技能的掌握作为唯一的内容与标准，而忽视数学过程性能力的考量，从而导致评价的无效。

本研究试图通过文献梳理、专家咨询、开放式调查、理论思考和统计分析等方法，构建我国5～7岁儿童数学过程性能力的结构体系，进而编制信度与效度较高的考查量表，以期为儿童的数学教育与评价以及进一步的研究提供理论上的参考和较为有效的研究工具。

二、方法与程序

（一）数学过程性能力的界定

从一般意义上来说，数学能力可以分为内容性能力和过程性能力。其中，内容性能力描述的是学生在学习应该知道的数学内容时表现出的能力，而过程性能力描述的是学生应该如何学习、理解和应用数学（Graf， 2009）。美国国家研究理事会幼儿数学委员会在其《早期幼儿数学学习：通向卓越与公平》报告中将数学过程能力划分为一般過程能力和特殊过程能力。其中一般过程能力是儿童在数学学习过程中时时处处发展着的数学过程能力，包括表征能力、问题解决能力、关联能力、推理与证明能力、交流能力。而特殊能力则是指伴随着某些数学知识的学习发展起来的数学能力，如发现和创造单位的能力、分解组合能力等（张凝，2010）。本研究主要考察儿童的一般过程能力。

我们认为，数学过程性能力是指儿童在数学学习过程中理解、获得和应用数学知识内容的能力。它应该具备以下的特征：1.数学过程性能力的获得是儿童数学学习的重要目标。数学是一门相互联系的学科，因此，数学学习的内容和过程是相互联系和重叠的。过程体现在内容之中，同时内容也体现在过程之中。数学教育不仅要向儿童传递数学知识和技能，还要发展儿童的过程性能力。2.数学过程性能力是儿童数学学习的重要支撑。儿童要深入理解数学知识概念并运用这些知识去解决问题，必须具备一定的过程性能力。如有研究指出，问题解决能力可以帮助儿童更好地理解数学概念，基于问题解决的数学教学对儿童的数学知识的学习非常重要（Hiebert et al.， 1997； Lester & Charles， 2003； Trafton & Thiessen， 1999； Van de Walle & Lovin， 2005）。3.数学过程性能力具有延伸性。无论是学前阶段的非正式的数学学习，还是学龄阶段的正式学习，它们都能够对儿童的学习提供支持。也就是说，一旦儿童获得了这些重要的能力，就可以在各种学习活动中加以运用，从而使自己的学习活动更为简单、灵活。

（二）数学过程性能力结构的初步构建

数学能力是顺利完成数学活动所具备的而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，是数学活动中形成和发展起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。因此，考查儿童数学过程性能力的发展，必须要以分析儿童在数学活动中的表现为基础。数学活动的选择要根据以下原则：1. 适宜性，即任务选择要符合儿童的发展水平；2. 条件限制，如活动的时长，要充分考虑各年龄段儿童的特点。在以上原则和标准指导下，本研究深入研究了《指南》《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（以下简称《课程标准》）中有关数学的内容，《指南》中兒童要学习的数学内容包括计算、测量、空间几何、统计和模式。《课程标准》中1～3年级小学生需要学习的数学内容有3块内容，分别是数与代数、图形与几何、统计与概率，其中模式包含在数与代数中，测量则包含在图形与几何中。本研究综合了两份指导文件有关数学知识内容，设计了3个数学活动，分别包括计算（分解与组合）、空间几何、统计。

根据数学过程性能力的概念，通过查阅文献、开放式调查、专家咨询等方式，初步确定儿童在学习与运用数学知识内容的过程中所表现出的各种能力，从而编写出5～7岁儿童数学过程性能力考察量表的维度及题项。

对初步提出的数学过程性能力的一阶4个能力要素及相关题项，向国内知名专家、一线幼儿园教师征询建议。根据多方意见，并参考国内外相关研究结果，对初步提出的能力要素及题项进行了修改，从中分析、归纳出可反映儿童数学过程性能力的34个题项，采用他评3点式的方法记分。

（三 ）正式量表的编制

1. 被试

样本数的多少直接影响因素分析的可靠性。为了保证探索性因素分析的精确效度，样本数不宜过少；为使验证性因素分析时模型适配度的卡方值不宜达到显著水平而拒绝虚无假设，样本数也不能太多。一般认为，因素分析中样本数与问卷题项数的比例要介于1：5和1：10之间为宜。

本研究前期编制的量表有34题，根据上述原则，本研究共选取200名儿童作为预试的样本。样本的选择遵循方便取样原则。从吉林省四平市选取了两所比较熟悉的幼儿园，从中随机抽取五个大班共100名儿童，男女各半。从四平市选取了两所小学，从中随机抽取一年级六个班共100名儿童，男女各半。

2.数据收集与处理

采用本研究自行编制的预测量表对儿童的数学过程性能力进行测量。采用小组活动形式，4～6名儿童组成活动小组参加数学活动分解与组合，对整个活动过程进行录像。活动过程分为三个环节，即教师提问环节、儿童操作环节和集体讨论环节。儿童表现数据来自教师提问、儿童作品以及录像编码。

在编制与测量表的过程中，只对儿童在分解与组合活动中的表现进行分析。采用SPSS 17.0软件录入数据并进行项目分析、探索性因素分析和信效度检验。儿童在空间、统计活动中的表现进行验证性因素分析，以探讨儿童在不同数学活动中的能力表现是否具有一致性，本文将不呈现这一部分研究结果。

三、结果与分析

（一）项目分析

项目分析（Item analysis）是指通过选择、替代或修改每一个题项而提高问卷的鉴别度和同质性，从而使测验具有较高的信度和效度。即在求出每一个题项的“临界比率”（critical ratio， 简称CR值）。其测量原理与独立样本t检验相同。它以测验总分的前25%～33%为高分组，得分后25%～33%为低分组，求出高分组和低分组被试在每题得分平均数差异的显著性。当被试数量较多，则以测验总分的前后27%为高、低分组的临界点。一般来说，t值越高，表示题项的鉴别度越好。

经项目分析筛选后，在“数学过程性能力考察表”中删除未达标准的题项，结果如表1所示。根据结果，删除CR值不显著（p>0.05）的题项，包括第8、17、21、22、30、33题。

（二）量表的信度

本研究采用内部一致性和重测进行信度检验，因素划分以探索性因素分析的结果为准。内部一致性信度采用克伦巴赫α系数，重测信度采取间隔2个月对40名儿童进行重测。检验后的内部一致性信度及重测信度见表2。

由表可知，儿童数学过程性能力考察量表各因素的α值在0.546～0.775之间（>0.500），重测信度的皮尔逊相关系数在0.417～0.484之间（p<0.05），这说明该考察量表及各因素具有较强的稳定性和较高的可靠性。

（三）量表的效度

1. 内容效度

确定内容效度最常用的方法是请相关专家对量表的题项与原定内容范围的符合性作出判断。本研究的各个题项来自对一线教师、专家的开放性调查结果，结合相关文献综述，在此基础上形成考察量表，并请专家、一线教师以及学前教育专业研究生对形成的量表进行审查和修改。这些举措保证了本量表的内容效度。

2. 构想效度

本研究采用探索性因素分析的方法检验量表的构想效度，从而对5～7岁儿童数学过程性能力考察量表的理论构想作进一步的探讨。

将200名被试在剩余28个题项上的表现进行一阶因素分析，采用主成分分析法，结合陡坡检验准则提取因子，抽取特征值大于1的因素4个，能解释的总变异量为51.895%。旋转后的因子符合情况见表3。由表可知，抽取出的4个因素共包括16个题项。因素1主要考查儿童能够运用语言去理解、获得和运用数学知识，如发起数学谈话、向同伴提问等，命名为“数学交流”能力。因素2主要考察儿童能否使用动作、图画、通用符号等形式来理解和表达数学观念，命名为“数学表征”能力。因素3主要考察儿童能否提出并验证自己的数学猜想以及使用不同的方法来进行推理和验证，命名为“数学推理和验证”能力。因素4主要考察儿童能否在解决问题的过程中运用原有知识和经验，命名为“数学关联”能力。

四、讨论

心理学认为，能力是在实践活动中直接影响活动效率，使活动顺利完成的心理特征。从这个定义可以看出，能力这种个性心理特征与人们所从事的活动紧密相连，这表现在一种能力常常能在多种活动发挥作用，而并非只对一种活动起作用；另外，要顺利完成任何一種活动，又要求多种能力的参与与配合才能实现。数学过程性能力的作用也如此。为了更好地获得和使用数学知识，保证数学活动的顺利进行，必须获得数学过程性能力。

对数学过程性能力的研究比较具有代表性的是美国。1989年，美国数学教师理事会（NCTM）在众多研究结果的支持下，总结美国数学教育的经验教训，在《学校数

学课程与评价标准》中，提出要在以下五个方面反映新时代所要求的变革（NCTM， 1989）：第一，认识数学的重要性；第二，对自身的数学能力充满信心；第三，成为数学问题解决者；第四，学会数学交流；第五，学会数学推理。为了保证数学标准能够保持对数学教育的适用性，NCTM对1989年版本的数学标准进行了修订，于2000年颁布了《学校数学教育的原则和标准》，将儿童的年级向下延伸至学前阶段，指出学前阶段到12年级的儿童都应该具备以下五条过程性能力：问题解决、数学交流、数学推理与验证、数学表征和数学关联。在英国，数学应用能力是幼儿数学教育的一个重点。其他一些国家和地区也在数学教育标准中提出要培养儿童的数学能力，其中包括了过程性能力。如2003年英国政府颁发了《学习型社会：基础阶段——3～7岁》指导文件，指出基础阶段的数学教育要引导学前儿童使用知识和对数学的理解来解决问题，与别人进行数学问题的交流并发展数学推理（崔玉芹，杨晓萍，2008）。加拿大学前教育较发达的省份安大略省在2010年颁布的《全日制幼儿园大纲（草案）》（The Full-Day Early Learning Kindergarten Program（Draft Version））也提出了问题解决、推理证明、反思、选择工具和策略、联系、呈现、交流七个数学学习过程（张亭亭，武欣和胥兴春，2012）。我国的数学教育一直不乏对学生数学知识的学习和数学能力培养的关注。比如，2002年《全日制普通高级中学教学大纲》指出，要“在数学教学过程中培养数学数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。同时还指出要努力培养学生的数学思维能力”（中华人民共和国教育部，2002）。

通过文献梳理我们发现，尽管各个国家和地区均认识到了数学过程性能力的重要作用，在各个国家和地区的早期数学学习标准中对数学过程性能力也均有一定描述，但对于数学过程性能力的维度及结构要素并没有统一的认识。虽然诸多国家的数学标准中均提到了要培养儿童的数学能力，但明确地将能力标准写入学校数学教育标准，美国是第一个也是唯一一个国家。NCTM将过程标准写入课程标准，一方面表明课程内容与数学能力培养之间高度的相关性，另一方面传递了这样的信息：我们不应该将数学能力的培养仅仅看成是执行数学内容知识的结果，更不应该看成是数学内容知识学习的“副产品”，它们是平行的，是我们在数学教与学的过程中必须同时思考、设计、执行的两个方面。因此，本研究将美国的五因素理论作为编制考察量表的一个重要的参考。

但是，美国的五因素理论是在长期的数学教育实践与理论研究基础上形成的，从方法上讲，是基于理论上和经验上的建构。这种建构的方法有时会因为地区、文化的差异而存在合理性和适宜性的问题。因此，在方法上，本研究在参考相关理论基础上，采用了因素分析的方法对考查量表的结构进行检验。这种数据驱动下的建构可以弥补纯理论建构的不足。而前期基于理论的建构又排除了因素分析中个别因子无法命名或理论上无法解释的可能性。

从理论建构的角度看，本研究建构的数学过程性能力维度结构具有一定的理论支持和实践证据。首先，本研究理论建构和量表编制过程比较严格。通过开放式调查、文献查阅、专家咨询等形式形成初步的维度与题项，并以此编制了考察量表。其次，本研究采用多种方法检验了理论构想的合理性。通过专家鉴定，保证了量表的内容效度；探索性因素分析表明因素结构与理论构想具有一致性。

但是，本研究也存在一些不足。首先，由于样本数的限制本研究在探索性因素分析后没有进行验证性因素分析，因此将美国的五因素模型和本研究的四因素模型进行比较，从而验证模型的适当性。其次，量表的内在一致性系数在某些因素上还达不到通行的0.60的基本标准，其中两个因素的α系数在0.50～0.60之间，这显然不能令人满意。根据对量表和研究过程的分析，这些因素的α系数不高的原因可能有二：一是因素所包含的题项较少，这可能导致α系数偏低，以后在进一步研究中需要增加各维度的题项，以提高内部一致性；二是样本数量、被试年龄差异可能造成表现的差异，以后还需在进一步研究时增加被适量。因此，将本研究的量表作为正式施测工具，还需在在研究实践中作进一步的修改和完善。

此外，今后在研究中还需要增加被试的数量，以满足对模型进行验证的需要。同时，本研究析出的四因素模型，是基于单一数学活动的分析，是否适用于其他数学活动，也需要进一步的验证分析。

（作者单位：宁波大学教师教育学院学前教育系，华东师范大学学前教育与特殊教育学院）