优化变式教学 培育数学素质

何孝贤

（霞浦县第八中学 福建 宁德 352000）

优化变式教学 培育数学素质

何孝贤

（霞浦县第八中学 福建 宁德 352000）

变式教学是初中数学课堂培育学科素养的有效途径，也内在地蕴含着培育数学素养的应有价值。文章结合初中数学教学实际，从数学图形、试题情境、解题方法和数学思想等方面探讨变式教学，分析其对培育数学素质的意义，注重在变式训练过程中探寻培养数学图形意识、语言能力、多维思维和科学精神等素质的有益策略，为促进有效课堂教学进行探索和实践。

初中数学；变式教学；数学素质；策略；应用

探索实施变式教学、培养学生数学素质始终是教师们关注的重要话题。我校教师在教学实践中也总结出了许多新颖生动的活动形式，对优化变式教学、创新变式训练、培养学生数学素质等发挥着积极的作用。下文，略谈几点关于如何在初中数学变式教学中促进学生数学素质的有效培养等问题。

一、活导图形变式，培养数图意识

图形是体现现实世界与数学文化交相融合的一种美妙形式。在初中数学课程中，精选图形案例、利用图形变式进行有针对的转化训练是学生开展数学变式训练的重要形式。教师引导学生学习了平面图形（如直线、曲线、多边形、平面区域等）、空间图形（如立体、空间区域等）和函数图形等的性质和特征之后，可以灵活结合一定的典例图例，合理变换原命题中的已知条件和范围等，或重新设置图形探究情境，来指引他们开展变式训练，深入分析新题境下的题设情况，探求新的解决方法，获取活动结论，进而有效培养起良好的数学图形意识。

如，在八年级上册几何专题教学中，教师引导学生掌握好了相关图形基础知识，认识了常见图形的特征和规律之后，利用了重置图形应用环境、数形结合、倒置题设条件等形式，来开展变式教学，可以促进学生更加直观地了解各种数学图形的位置关系，深入认识蕴含于其中的知识。如，在“直线位置关系”教学后，教师把探究视角移到了学生身边，启发他们：“现在观察下我们的教室，能不能现场找出一些体现直线平行关系、直线垂直关系的例子啊？”在教师的指引下，很多学生找出了“黑板的对边、课桌的对边、地板前后两条墙角线都是平行关系，而墙角相交的三条线、课桌相邻的两条边都是垂直关系……”在此，教师灵活利用了教室中的熟悉事物来创设新的探究情境，将课堂场景转化成图形案例，丰富图形素材，使学生在亲切的学习环境中细致观察，增强数学图形意识，提升数学学习能力。

图1

还有，利用题设中的倒置条件是指引学生进行图形变式训练的好方法。如，在九年级（2）班的一节数学“学习展示”课上，科代表刘学志同学带领大家开始了课前5分钟的展示活动，他利用PPT把前一节课中老师布置的小组探究学习问题展播出来：“如图（右截图），昨天老师在作图时不小心把图给弄脏了，只能看见图中的∠C和边BC，并且被弄脏的∠B＝∠C，请大家想一想，怎样才能把图恢复到原来的样子呢？大家想一想，能不能利用已学过的等腰三角形判定定理来探讨一下呢？”这样的多媒体情境展示后，学生们踊跃举起手来，要求上台演练自己的方法。有的学生利用先测量∠C，然后模画出∠B，再延长两角的边使之相交于A，来补齐三角形；有的学生则先做出边BC的垂直平分线，与∠C另一边的延长线交于点A，从而恢复三角形；有的学生用长方形纸片对折的方法……可以看出，在“学习展示”活动中，学生们在创设的“等腰三角形”变式训练中探得了许多有价值的解法，充分展现了他们爱思考、爱探索的数学品质。

二、巧换试题情境，增强语言能力

巧换试题情境是进行数学变式训练的又一有效手段。教师通过优设适当的题型，变换原试题中的条件、范围、背景、设问和结论等，引导学生参与探讨数学符号、术语、图形、定义、法则、公式和性质，开展变式训练，有利于促进学生在新训练情境中增进互动交流，学会规范表述、数学抽象和逻辑推理，进而培养起良好的数学语言能力。

变换试题情境，教师应认真分析原题，结合原题的特征，来合理变换原题中的已知条件、适用范围、背景信息和相关结论等。如，在“一元二次方程根的判别式”一节课中，等学生已学好了一元二次方程的一般形式和根的判别式之后，适时引领他们开展变式训练：

原题：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，当m取何值时，此方程有实数根？

变式1：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，当m取何值时，此方程有两个相等的实数根？

变式2：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，若有一根是－1，则m的值是多少？另一根是多少？

学生通过先前的一元一次方程和一元二次方程的学习，对方程的基本形式已经有很好的了解。原题中，教师要求学生能理解并应用一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac≥0且a≠0来判定方程有无实根，即m≤－2／3且m≠－1，进而逐步加深了对一元一次方程、一元二次方程概念的认识。在变式1中，适当变换了原题条件，使学生进一步明确了方程的二次项系数必须不为0，即m＋1≠0且Δ＝b2－4ac＝0；通过求值、取舍、判别的过程，学生应用了根的判别式，顺利地解决了一元二次方程两个相等的实数根情况。在变式2中，将问题的结论进行变式设计，引导学生巧妙利用代入法，把方程的根－1代入方程，顺利求出方程中m＝－2，进而求出另一根x＝3。可见，通过改变题设的条件和结论，引导学生开展变式训练，能加深学生对数学概念、法则和性质的理解，使他们学会整合学习思路，学会变换思考、推理论证，更加准确地表达数学方法，增强数学语言能力。

三、善借多样解法，激活多维思维

思维是数学素质的核心和灵魂。在初中数学变式教学实践中，学生掌握了基本解法之后，教师还应加强解题技能的指导，鼓励他们积极利用多样化的解题方法，多维度地激发他们的数学思维，培养良好的思维素质。我们不仅可以通过设计“一题多解”、“一题多变”、“一题多导”等变式题型，来加强学生发散性、求异性思维的训练，培养思维活性，而且还可以通过设计“多题一法”的变式题型，锻炼他们的定向思维，指引他们从“多题”中探索、归纳、总结出解题规律，进一步培养数学思维的深刻性。

如，围绕“一元一次方程的应用”，我们可以联系和（差）倍分、劳力分配、行程、工程、利润、储蓄、比例分配等类型的问题，来设计应用性试题，并通过变式，指导学生开展列方程（组）、解决问题，发展学生思维的灵活性。

原题：一项工作，甲单独来做要20小时完成，乙单独来做要12小时完成。请问，两个人一起合作，要多少小时可以完成？

本题是一个非常典型的工程应用性问题，学生应把握好工作量、工作时间和工作效率三个量，以及三个量之间的换算关系，并进一步理解“甲单独做20小时完成的工作量”与“乙单独做12小时完成的工作量”之和就是工作总量，就可以顺利得出答案。学生完成解题后，教师把这个“工程安排”类题型进行了变式设计：

变式1：一项工作，甲单独来做要20小时完成，乙单独来做要12小时完成。现在，甲先单独做了4小时，接着乙也加入。请问，两人一起合作还需要几小时会完成？

在阀杆密封填料函处必须设计有防细小物料进入填料密封系统的自清洁结构，同时在设计允许的条件下，尽可能增大执行机构的安全系数，解决因少量物料堆积引起的阀门卡涩。

变式2：一项工作，甲单独来做要20小时完成，乙单独来做要12小时完成。现在，甲先单独做了4小时，接着乙也加入。请问，两人一起合作还要用多少小时完成这项工作的2／3？

变式3：一项工作，甲单独来做要20小时完成。现在，甲乙两人合作3小时完成了这项工作的2／5。接着，甲单独做了4小时，然后乙也加入一起做了2小时后，甲又借故离开了，剩余的工作由乙来单独完成。请问，共用多少小时来完成这一项工作？

在变式1中，学生可从两种角度进行变式解答：（1）理解“甲先单独完成的工作量”与“两人合作完成的工作量”之和就等于工作总量，先设两人一起合作，还要x小时完成这项工作，依题意可得：4／20＋（1／20＋1／12）x＝1，得出x＝6；（2）理解“甲共完成的工作量”与“乙完成的工作量”之和就等于工作总量，先设两人一起合作还要x小时完成这项工作，依题意可得：（4＋x）／20＋x／12＝1，得出x＝6。变式2是在变式一的基础上适当改变了完成工作总量的条件，学生在此可利用建立方程来解决问题：4／20＋（1／20＋1／12）x＝2／3。在变式3，设计相对复杂了些，学生先要理解这些等量关系：“甲先单独完成的工作量”、“两人一起完成的工作量”和“乙单独完成的工作量”三部分之和就等于工作总量，或“甲共完成的工作量”与“乙共完成的工作量”之和就等于工作总量，然后根据已训练过的变式练习可以类比得出两种解法：（1）设共用x小时完成这项工作，依题意可得：4／20＋2（2／5÷3）＋（x－4－2）（2／5÷3－1／20）＝1，得出x＝12.4；（2）设共用x小时完成这项工作，依题意可得：（4＋2）／20＋（x－4）（2／5 ÷3－1／20）＝1得出x＝12.4。

在此，教师利用了“一题多变”变式设计，适当变换了应用题新内容，逐步设置了题设难度，引导学生开展变式训练，循序渐进地打开了学生思维。学生们在“一题多变”中开展拓展训练，探寻不同解决方法和技巧，激发了思维灵活性和创新性，提升了多维思维能力。

四、渗透数学思想，激扬科学精神

科学精神是培养数学素质的重要内容。在初中数学变式教学中，教师积极渗透数形结合、分类、方程与函数、化归与转化、特殊与一般等数学思想，有利于引导学生更深入把握数学知识本质，在变式训练中积极参与思考、分析、运算、推理，提高解题能力，培育起良好的数学科学精神。

原题：如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）。若将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标。

图2

变式：如图3，△ABC中任意一点P（－2，2）经过平移后对应点为P1（3，5），将△ABC做同样的平移，得到△A1B1C1，请写出点A1，B1，C1的坐标。

图3

在变题中，教师先联系点在坐标系中的符号特征，把平移问题转化成坐标问题，向右（左）平移m个单位长度，横坐标则加（减）m；向上（下）平移n个单位长度，纵坐标则加（减）n。这样，利用变式，运用数学转化思想，可以有效地提高学生机智变通的思维能力，增进思维的灵活性，培养他们严谨的科学求知精神。

此外，分类思想和方程思想在初中数学变式训练中也受到广泛应用，在呈现问题条件、分析问题情况、开展分类讨论等起到积极的作用。

原题：等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和18的两部分，求等腰三角形的三边长。

变式1：等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成12和24的两部分，求等腰三角形的三边长。

变式2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求三角形的三个内角的度数。

在此变式题中，要注重运用分类思想，区分题设的不同情况进行讨论，又要利用三边关系做好检验，并重视方程思想在几何运算中的运用。所以，教师在变式设计中巧妙渗透数学分类思想，有利于指引学生开展分类讨论、互动探究、准确解决问题，培养科学精神。

总之，变式是形，素质为本。教师优化实施变式教学，对学生数学图形意识、语言能力、多维思维和科学精神等数学素质的培养发挥着积极的作用。我们只有切实重视学生的学习主体性地位，营造丰富的变式学习氛围，强化数学多样解法的指导，激发学生的探知欲望，才能有效地指引学生参与课堂、获取知识、发展素质。

［1］钱怀莲.初中数学循序渐进地培养学生的数学素养［J］.中学数学，2014年02期.

［2］卢建兵.初中数学教学中变式训练设计策略［J］.中学数学教学参考，2015年30期.

［3］刘洪群.变式教学在初中数学课堂中的实施［J］.中学数学教学参考，2016年18期.