对一个习题的拓展教学

陈 浩

（西藏民族大学附属中学 陕西 咸阳 712082）

对一个习题的拓展教学

陈 浩

（西藏民族大学附属中学 陕西 咸阳 712082）

新课标强调学生的主体能动性，“倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力”，同时高考也注重对学生数学思维和能力的考察。本文就以“焦点三角形”的教学，谈谈课本例题的实施与高考的接轨。

习题；高考；点三角形

在《椭圆》学习中，焦点三角形这个知识点是比较重要的。它不仅蕴含了椭圆的定义、离心率，还对后面学习的抛物线、双曲线等的同类问题具有承上启下的铺垫作用。在考查中，常常结合三角形中的相关定理进行考查，灵活性较大，一般属于中高档题，需要学生作为重点内容来理解掌握。为此，在教学中本人结合教材习题，尝试着引导学生对这类问题进行举一反三的学习，以提高学生的思维和探索能力。

【例1】（新人教版选修2-1，P40练习第3题）已知经过椭圆的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，F1是椭圆的左焦点（见图1）.

图1

（1）求△AF1B的周长；

（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗，为什么？

解析：对于问题1，同学们很快利用椭圆的定义解答完毕，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.所以l＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.对于问题2，由问题1可知，△AF1B的周长没有变化.

为进一步加深对椭圆定义的理解，逐步引导学生认识椭圆的焦点三角形的特征，先让学生思考例2。

【例2】在例1的椭圆中，如果AF1⊥AF2，求△AF1F2的面积（见图2）.

图2

在课堂巡视中，发现学生一般采用两种方法去做。

解析：方法一：设点A坐标（x，y），通过AF1⊥AF2以及点A在椭圆上求出其坐标，所以

方法二：通过求出｜AF1｜与｜AF2｜的值，得

显然，无论哪一种方法，计算都比较繁琐，所以鼓励学生去寻找一种更简便的方法，即不分别求出｜AF1｜与｜AF2｜的值，而通过搭建｜AF1｜＋｜AF2｜与｜AF1｜2＋｜AF2｜2的关系式，去求｜AF1｜·｜AF2｜.学生得到提示，很快得出了这个关系式：｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－2｜AF1｜·｜AF2｜（向学生指明，这是椭圆焦点三角形的特征之一），

所以2｜AF1｜·｜AF2｜＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－（｜AF1｜2＋｜AF2｜2）＝（2a）2－（2c）2＝4b2＝64.

在学生感受到利用椭圆焦点三角形特征解题的优越性之后，趁热打铁，引导学生思考例3。

【例3】已知F1、F2为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且∠PF1F2＝105°，∠PF2F1＝15°，则e等于多少（见图3）？

图3

学生发现利用求点P或者求｜PF1｜与｜PF2｜是无法解决问题，于是很自然将问题朝椭圆焦点三角形的特征方面思考，可是，同学们还是没有太大进展。这时，我进一步引导学生从三角形方面入手，让学生回忆在前面的内容中，我们是如何处理三角形的边角关系的，又如何将e与已知条件联系起来呢？学生得到启发，思路变得越来越清晰了。下面我们来看一下，解答过程。

通过以上三个例题，引导学生归纳关于椭圆的焦点三角形的特征：

特别提醒：（1）解题过程中要注意整体思想的应用，｜PF1｜＋｜PF2｜与｜PF1｜－｜PF2｜可以作为整体相互表示，而不必分别求出｜PF1｜和｜PF2｜。

在学生整理好结论之后，要求学生结合刚才学习的内容，独立练习例4。

点评：本题考查椭圆性质中焦半径｜PF2｜范围的运用和解焦点三角形的基本方法。具有一定的难度。得分的关键是利用正弦定理将角化为边｜PF1｜、｜PF2｜的比值，还有定｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a的及时参与，最后熟记｜PF2｜∈（a－c，a＋c）。

课后思考：（2007年江苏15）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆

在高考题中，椭圆、抛物线、双曲线都有涉及焦点三角形的题目，在这里我就不一一列举了。希望通过对以上例题的学习，我们的同学能在做题中灵活运用焦点三角形的性质进行举一反三，触类旁通。这样不仅可以避免大量繁琐的计算过程，起到优化解题作用，还可以为学生节约宝贵的考试时间。所以，在圆锥曲线的学习中，对于焦点三角形性质的学习的重要性是不言而喻的。