平方s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

时统业， 李 军

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

平方s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式

时统业， 李 军

(海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800)

利用s-凸函数与平方s-凸函数的关系，或者从平方s-凸函数的定义出发，建立了平方s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

平方s-凸函数；s-凸函数；Hermite-Hadamard 型不等式

0 引言

定义2[2]设I⊆[0，∞)为平方凸集，函数f是定义在I上的正值函数，若对任意x，y∈I，λ∈[0，1]，有

则称f是定义在I上的平方凸(凹)函数．

文献[1，3-4]研究了平方凸函数的性质.文献[5]给出平方凸函数的积分型Jensen不等式.文献[6]建立了平方凸函数的2次幂平均型Hadamard型不等式．

s-凸函数[7-9]、s-预不变凸函数[10]、GA-s-凸函数[11-12]、调和s-凸函数[13]、s-对数凸函数[14-15]、调和平方s-凸函数[16-17]、几何s-凸函数[18-19]、r次幂平均s-凸函数[20]分别是凸函数、预不变凸函数、GA凸函数、调和凸函数、对数凸函数、调和平方凸函数、几何凸函数、r次幂平均凸函数的推广．本文中所指s-凸函数均指第二种意义上的s-凸函数．作为平方凸函数的推广，文献[21]提出平方s-凸函数的概念．

定义3[21]设I⊆(0，∞)，s∈(0，1]，f：I→(0，∞)．若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，有

(1)

则称f为I上的平方s-凸函数．若式(1)中的不等号反向，则称f为I上的平方s-凹函数．

定理1[9]设f：[0，∞)→[0，∞)是第二种意义上的s-凸(凹)函数，s∈(0，1]，a，b∈[0，∞)，a

定理2[21]设[a，b]⊆(0，+∞)，s∈(0，1]，f为[a，b]上的平方s-凸(凹)函数，则有

由引理1和引理2立得引理3．

本文的目的是建立平方s-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．

1 主要结果

定理3设[a，b]⊆(0，+∞)，s∈(0，1]，f为[a，b]上的平方s-凸(凹)函数．若f在[a，b]上勒贝格可积，则有

(2)

证明由引理3和定理1得

推论1若f(x)为[a，b]⊆(0，+∞)上的平方凸函数，则有

(3)

证明由平方s-凸函数定义，对任意x，y∈[a，b]有

(4)

(5)

由平方s-凸函数定义，对任意x∈[a，b]有

(6)

(7)

将式(6)和(7)相加得

(8)

将式(5)和式(8)乘以xp(x)，然后对x在[a，b]上积分并注意到

则式(3)得证．

注1在定理4中取p(x)≡1，则得到定理2．

定理5设[a，b]⊆(0，+∞)，s∈(0，1]，f为[a，b]上的平方s-凸函数．若f在[a，b]上勒贝格可积，则有

(9)

(10)

由平方s-凸函数定义，对任意x∈[a，b]有

(11)

(12)

将式(11)和(12)相加得

(13)

则式(9)得证．

推论2若f(x)为[a，b]⊆(0，+∞)上的平方凸函数，则有

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Hermite-HadamardTypeInequalitiesforSquares-ConvexFunctions

SHI Tongye， LI Jun
(DepartmentofInformation，PLANavalCommandCollege，Nanjing211800，China)

Based on the relation betweens-convex functions and squares-convex functions, or by the definition of squares-convex functions, Hermite-Hadamard type inequalities for squares-convex functions are established．

squares-convex function;s-convex function; Hermite-Hadamard type inequality

2017-03-05

海军指挥学院导师及研究生优质课程资助项目

时统业(1963—)，男，河北张家口人，海军指挥学院信息系副教授，主要研究方向：基础数学教学．

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.02.001

O178

：A

：1007-0834(2017)02-0001-04