2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科数学模拟试题

邓军民

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合A={x|1

CRB=（ ）

（A）（1，2） （B）（1，3） （C）（3，4） （D）（1，4）

（2）如果复数z=■（b∈R）的实部和虚部相等，则| z|

等于（ ）

（A）3■ （B）2■ （C）3 （D）2

（3）已知函数f（x）是偶函数，当x>0时，f（x）=■，则在区间（-2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（ ）

（A）y=-x2+1 （B）y=|x+1|

（C）y=e|x| （D）y= 2x-1，x≥0x2+1， x<0

（4）已知函数f（x）=sin（？棕x+■）（？棕>0）的最小正周期为？仔，则函数f（x）的图像（ ）

（A）关于直线x=■对称 （B）关于点（■，0）对称

（C）关于直线x=■对称 （D）关于点（■，0）对称

（5）下列四个结论：

①若p∧q是真命题，则？劭p可能是真命题；

②命题“？埚x0∈R，x02-x0-1<0”的否定是“？坌x∈R，x2-x-1≥0”；

③“a>5且b>-5”是“a+b>0”的充要条件；

④当a<0时，幂函数y=x？琢在区间（0，+∞）上单调递减.

其中正确的是（ ）

（A）①④ （B）②③ （C）①③ （D）②④

（6）如图1，圆C内切于扇形AOB，∠AOB= ■，若向扇形AOB内随机投掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ）

（A）450 （B）400

（C）200 （D）100

（7）已知等差数列{an}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，那么{an}当的前n项和最大时，n=（ ）

（A）7 （B）8

（C）9 （D）10

（8）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为（ ）

（A）12 （B）16

（C）18 （D）24

（9）执行如图3所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

（A）16

（B）17

（C）18

（D）19

（10）已知x，y满足

kx-y+2≥0，x+y-2≥0，（k<0）y≥0，若目标函数z=y-x的最小值是-4，则k的值为（ ）

（A）-■ （B）-3 （C）-■ （D）-2

（11）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点F恰好是双曲线■-■=1（a>0，b>0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（ ）

（A）■ （B）1+■

（C）■ （D）1+■

（12）已知f（x）= -x2+■x，x<0ex-1，x≥0若函数y=f（x）-kx有3个零点，则实数k的取值范围是（ ）

（A）（-1，1） （B）（1，+∞）

（C）[2，+∞） （D）[1，2）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）若点（a，27）在函数y=x3的图像上，则tan■的值为 .

（14）已知a>0，b>0，2a+2b=6，则■+■的最小值为

.

（15）某校有A，B两个文学社团，若a，b，c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团，则三人不在同一个社团的概率为 .

（16）已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为 .

三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.本大题共6小题，共70分.

（17）（本小題满分10分）

已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求f（x）=sin（x-A）+■cosx（-■≤x≤？仔）的值域.

（18）（本小题满分12分）

随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：

（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；

（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程■=■x+■，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式：

■=■，■=■-■■.

（19）（本小题满分12分）

如图4，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD.

（Ⅰ） 求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD；

（Ⅱ） 若BC⊥CD，AB=AA1=2，求三棱锥B1-A1BD的体积.

（20）（本小题满分12分）

如图5，椭圆C1：■+■=1（a>b>0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到直线x=■的距离为■，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B.

（Ⅰ） 求椭圆C1的方程；

（Ⅱ） 若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个

交点为点P、M.求证：直线MP经过一定点.

（21）（本小题满分12分）

设函数f（x）=ax+b-xlnx（a>0），g（x）=■，若直线y=e-x是曲线C：y=f（x）的一条切线，其中e是自然对数的底数，且f（1）=1.

（Ⅰ） 求a，b的值；

（Ⅱ） 设0f（n）.

请考生在第22、23题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程x=2+■t，y=■t，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：？籽=4cos？兹.

（I）求直线l的极坐标方程；

（II）求直线l与曲线C交点的极坐标（？籽>0，0≤？兹<2？仔）.

（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a>0），g（x）=x+2.

（I）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；

（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科数学模拟试题

参考答案

一、 选择题

1.【解析】A=（1，4），B =[-1，3]，则A∩（CRB）=（3，4），选C.

2.【解析】令■=a+ai，展开3-bi=a+3ai解得a=3，b=-3a=-9，故|z|=3■，选A.

3.【解析】根据题意画出每个函数的图像，可知选C.

4.【解析】由？仔=■，得？棕=2，选A.

5.【解析】①错，②对，③错，④对，选D.

6.【解析】不妨设内切圆的半径为1，则扇形的半径为3，由■·■■，n·200，选C.

7.【解析】a7+a8+a9=3a8>0，a7+a10=a8+a9<0，a8>0，a9<0，选B.

8.【解析】如图，根据三视图可知该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，求得其体积为为24，选D.

9.【解析】n=1时，S=log2■；n=2时，S=log2■；

n=3时…S=log2■<-3， 输出n=16，选A.

10.【解析】由题意作出其平面区域，将z=y-x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，当目标函数z=y-x取得最小值-4时过点（4，0），故k=-■，选C.

11.【解析】两曲线的一个交点坐标为（■，p），从而■=c，p=■，故b2=2ac=c2-a2，e2-2e-1=0，解得e=1+■，选D.

12.【解析】由f（x）-kx=0得到f（x）=kx，f（0）=0，当x<0时，得到-x2+■x=kx，得到x=■-k<0，所以k>■，当x>0时，f（x）=ex-1，f′（x）=ex>1，所以要使y-f（x）-kx在x>0时有一个零点，则k>1，所以实数k的取值范围是（1，+∞），选B.

二、填空题

13. ■； 14. 4； 15. ■； 16. 5？仔.

13. 【解析】把点（a，27）代入y=x3，得a=3，所以tan■=

tan■=■.

14. 【解析】■+■=■+■=2+■+■≥4，当且仅当■=■即a=1.5，b=1时取“=”.

15. 【解析】a，b，c三名学生选择社团的结果有：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（B，A，A），（A，B，B），

（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B），共8个等可能性的基本事件，三人在同一個社团的结果有：（A，A，A），（B，B，B），共两个，所以“三人在同一个社团”的概率为■=■，而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件，所以“三人不在同一个社团”的概率1-■=■.

16.【解析】记底面三角形ABC的外接圆为⊙O′，半径为r，则2r=■=2，所以记球的半径为R，因为SC⊥平面ABC，则2R=■=■=■，所以球O的表面积为S=4？仔R2=4×？仔×（■）2=5？仔.

三、解答题

（17）解析：（Ⅰ）∵ sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinc，

由正弦定理得：b2+c2=a2+bc，∴ cosA=■=■.

又∵A∈（0，？仔），∴ A=■. …………6分

（Ⅱ）f（x）=sin（x-■）+■cosx■sinx-■cosx+■cosx=■sinx+■cosx=sin（x+■）………………8分

∵ -■≤x≤？仔，∴ -■≤x+■≤■，………………9分

∴ sin（x+■）∈[-■，1]，……………11分

∴ f（x）的值域为[-■，1]. ……………12分

（18） 解析：（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年，所有的事件有：（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），

（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），

（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），

（2015，2016）共10种， ……………………2分

至少有1年多于20人的事件有： （2012，2015），

（2012，2016），（2013，2015），（2013，2016），

（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共7种，

……………………4分

则至少有1年多于10人的概率为p=■. …………5分

（Ⅱ）由已知数据得■=2014，■=16，………………7分

■（xi-■）（yi-■）=-2×（-10）+（-1）×（-6）+1×6+2×10=52.

…………………………………8分

■（xi-■）2=（-1）2+（-2）2+12+22=10………………9分

所以■=■=■=5.2， ■=16-5.2×2014=-10456.8…………………………………10分

所以是正相关，回归直线的方程为■=5.2x-10456.8

………………………………11分

则第2019年的估计值为■=5.2×2019-10456.8=42

………………………………12分

（19） 解析：（Ⅰ）证明：因为AB=BD，∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形. …………………………………1分

所以AB=AD，又CB=CD，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以∠CAD=∠CAB，所以AC⊥BD.……………2分

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱，所以AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BD，…………………3分

又AC∩AA1=A，所以BD⊥平面ACC1A1，…………4分

又BD？奂平面A1BD，所以平面ACC1A1⊥平面A1BD.

………………………………………5分

（Ⅱ）因为AA1∥BB1，所以V■=V■=V■，

………………………………………7分

由（Ⅰ）知AC⊥BD，又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC，又BD∩BB1=B，所以AC⊥平面BB1D.……………………………………10分

记AC∩BD=O，则V■=■S△BB1D·AO=■×（■×2×2）×■=■，所以三棱锥B1-A1BD的体积为■.

……………………………………12分

（20） 解析：（Ⅰ）依题意，2b=■·2a，则a=3b，所以c=■=2■b，又■-c=■=■，所以b=1，于是a=3，所以椭圆方程为■+y2=1. ………………………………3分

（Ⅱ） 由题意知直线PE、ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE∶y=kx-1，由y=kx-1，■+y2=1，得x=■，y=■或x=0，y=-1，所以 P（■， ■）.…………………………6分

用-■去代k，得M（■，■），…………………7分

因為kPM =■=■，………………………9分

所以直线PM：y-■ = ■（x+■），即y = ■x+■，……………………………11分

所以直线PM经过定点T（0，■）.………………………12分

（21）解析：（Ⅰ）设切点为T（x0，y0），因为f′（x）=a-1-lnx，………………………………1分

所以f ′（x0）=a-1-lnx0=-1，即a=lnx0 ……①

又切线方程为y-y0=-（x-x0），即y=x0+y0-x，所以x0+y0=e.………………………2分

将y0=ax0+b-x0lnx0代入上式得x0+ax0+b-x0lnx0=e，

将a=lnx0代入上式得b=e-x0，……② …………………3分

因为f（1）=1，所以b+a=1，所以lnx0+e-x0=1，即lnx0-x0+e-1=0，………………………………………………4分

令h（x）=lnx-x+e-1，则h′（x）=■-1=■，故h（x）是（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，

且当x=1时，h（x）取极大值h（x）=ln1-1+e-1=e-2>0，

因为h（e-2）=-2-e-2+e-1=e-3-e-2<0，且h（e）=0，

故h（x）在区间（e-2，1）有一个零点x■，在（1，+∞）区间上的零点为e，

因为a>0，所以a=lnx0>0，所以x0=e，………………③

将③代入①②可得a=1，b=0. …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x-xlnx，令m=tn，则t>1，

要证f（m）>g（n），即证f（tn）>g（n）？圳tn-tnln（tn）>■？圳t-tln（tn）>■.……………………………………7分

记？渍（t）=t-tln（tn）（t>1），则？渍′（t）=1-[ln（tn）+1]=-ln（tn）=-lnm>0.

所以？渍（t）=t-tln（tn）是（1，+∞）上的增函数，？渍（t）≥？渍（1）=1-lnn，……………………9分

以下再证：1-lnn>■，即证：lnn-■<0， …………………………………………10分

记r（n）=lnn-■（00，

所以r（n）是（0，1）上的减函数，所以r（n）

综上，原不等式成立.…………………………………12分

[其它证法，如放缩法]先证f（m）>f（n），再证f（n）>g（n）；先证f（m）>g（m），再证g（m）>g（n）.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答. 如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号.

（22）解析：（I）将直线l∶x=2+■t，y=■t（t为参数），消去参数t，化为普通方程■x-y-2■=0，…………………2分

将x=？籽cos？兹，y=？籽sin？兹代入■x-y-2■=0得■？籽cos？兹-？籽sin？兹-2■=0. ……………………………4分

（II）方法一：C的普通方程为x2+y2-4x.…………6分

由■x-y-2■=0，x2+y2-4x=0，解得x=1，y=-■或x=3，y=■.…………………………………8分

所以l与C交点的极坐标分别为（2，■），（2■，■）. …………………………………10分

方法二：由■？籽cos？兹-？籽sin？兹-2■=0，？籽=4cos？兹，

………………………………6分

得：sin（2？兹-■）=0，又因为？籽≥0，0≤？兹<2？仔 ………………8分

所以？籽=2，？兹=■或？籽=2■，？兹=■.

所以l与C交点的极坐标分别为（2，■），（2■，■）. …………………………………10分

（23）解析：（I）当a=1时，2x-1+2x+1≤x+2

x≤-■，-4x≤x+2？圯无解，-■

综上，不等式的解集为{x│0≤x≤■}.………………5分

（II）2x-a+2x+1≥x+2，转化为2x-a+2x+1-x-2≥0.

令h（x）=2x-a+2x+1-x-2，

因为a>0，所以h（x）=-5x+a-3，x≤-■-x+a-1，-■

…………………………8分

在a>0下易得h（x）min=■-1，令■-1≥0，得a≥2.

…………………………………10分

责任编辑 徐国坚