一些解析函数空间上积分算子的范数

罗家平，文 邮

（嘉应学院数学学院 广东 梅州 514015）

一些解析函数空间上积分算子的范数

罗家平，文 邮

（嘉应学院数学学院 广东 梅州 514015）

若f是单位圆盘D上的解析函数，Volterra积分算子定义如下：

文章给出了Jg在不同的解析函数空间上的范数计算.

范数；积分算子；解析函数空间

1 引言

令D＝{z:z＜1}是复平面C上的单位圆盘.H（D）表示单位圆盘D上的解析函数.定义1.1当0＜p＜∞，若对f∈H（D），且满足

定义1.2当α＞0，α-Bloch空间记为Bα.若f∈H（D），Bα空间由满足下列条件的函数组成：

特别地，当α＝1时，Bα记为B.

定义1.3当0≤s＜∞，0＜p＜∞.若f∈H（D）且满足

则称f属于Hp.H∞称为Bers-型空间，对f∈H∞，有

对空间H∞s赋予范数H∞，则H∞s为巴拿赫空间.

定义1.4当0≤p＜∞，若f∈H（D）且满足f'∈Hp，该空间记为Sp.对Sp赋予以下范数

则Sp为巴拿赫空间.

定义1.5当-1＜α＜∞，若f∈H（D）且满足

则称f属于Dα.

定义1.6假设g∶D→C1是全纯映射且h∈H（D）.积分算子Jg也称为Volterra型算子定义如下：

定义1.7若T为解析函数空间上的算子，T的范数为

Pommerenke在文献[11]中证明积分算子Jg在Hardy空间上有界性的充要条件；Bergman空间上积分算子Jg有界性的充要条件见文献[2-3]；关于积分算子Jg的其他结论可见文献[1-4，6-10].在本论文中，讨论了积分算子Jg在不同的解析函数空间上范数的估计.

2 主要结论与证明

在这一节中，将给出主要结论与证明.结论的证明需要用到下面的引理.

首先给出Jg从Hα∞到Bα的范数，结论如下：

定理2.2设0≤α＜∞.如果g∈H（D），积分算子Jg从到Bα有界的充分必要条件是supz∈D.进一步，有.

因此

反之，记c＝supz∈Dg（'z）.对任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

很容易验证h∈Hα∞且hH∞＝1.又由

和

由ε的任意性，可得

由（7）和（11）可得结论.证毕.

因此

反之，记c＝supz∈Dg（'z）.对任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

令z＝reiθ，由Poisson积分方程可得

且有 h（z1）（1-z12）1/p＝1，所以

由ε的任意性，可得

由（12）和（13）可得结论.证毕.

最后，给出Jg从H∞到其他解析函数空间上有界的范数，结论如下：

定理5下列结论成立：

（1）设-1＜α＜∞.如果g∈H（D），积分算子Jg从H∞到Dα有界的充分必要条件是supz∈Dg（'z）＜∞.进一步，有

定理5的证明与文献[10]中的引理3.3类似，在此省略.

[1]ALEMAN A，CIMA J.An integral operator on Hpand Hardy’s inequality[J].Anal Math，2001，85（2）：157-176.

[2]ALEMAN A，SISKAKISA.An integral operatoron Hp[J].Complex Variables，1995，28（2）：140-158.

[3]ALEMAN A，SISKAKIS A.Integral operators on Bergman spaces[J].Indiana Univ Math J，1997，46（1）：337-356.

[4]AUSTIN A.Multiplication and integral operators on Banach spaces of analytic functions[D].Hawaii：University of Hawaii，2010.

[5]DUREN P.Theory of HpSpaces[M].New York：Academic Press，1970.

[6]LI S，STEVIC S.Volterra-type operators on Zygmund spaces[J].J Ineq Appl，2007，312（2）：1125-1134.

[7]LI S，STEVIC S.Generalized composition operators on Zygmund spaces and Bloch type spaces[J].J Math Anal Appl，2008，338（23）：1282-1295.

[8]LI S，STEVIC S.Products of integral-type operators and composition operators between Bloch-type spaces[J].J Math Anal Appl，2009，34（3）：596-610.

[9]LI S.On an integral type operator from the Bloch space into the QK（p，q）space[J].Filomat，2012，26（2）：125-133.

[10]LIU J M，LOU Z J，XIONG C J.Essential norms of integral operators on spaces of analytic functions [J].Nonlinear Analysis，2012，75（2）：5145-5156.

[11]POMMERENKE C.Schlichte funktionen and analytische funktionen von beschrankter mittlerer oszillation [J].Comment Math Helv，1977，52（3）：591-602.

Norm of an Integral Operator on Some Analytic Function Spaces

LUO Jiaping,WEN You
（School of Mathematics,JiayingUniversity,Meizhou 514015,Guangdong,China）

norm;integral operator;analytic function spaces

TP391

A

1001-4217（2017）03-0042-04

2016-09-02

罗家平（1994—），女，汉族，研究方向为函数空间与算子理论.

基目项目：广东大学生科技创新培育专项资金（“攀登计划”专项资金）资助（pdjh20160465）.