“长方形、正方形面积的计算”的教学思考与设计

杨宇师

[摘 要]长方形和正方形面积公式的推导是学生探索其他平面图形的面积公式的基础，是学生学习面积计算的起始课。在学习本课之前，学生已经掌握通过数小正方形去比较两个图形的面积大小的方法，學生对于图形大小的概念建立在数小正方形的基础之上，这是本课教学的起点。

[关键词]长方形；正方形；面积公式；推导

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0065-02

对于长方形的面积计算公式“长×宽”，多数学生识记起来比较容易，至于为什么这么算，却几乎没有学生能够说清楚。长方形各边的长度和它的面积之间存在什么关系呢？让学生先用摆的方法计算长方形的面积，再通过猜测——验证摆在长方形里面的1平方厘米小正方形的数量与边长的关系，可让学生经历长方形面积计算方法由摆到量的整个过程，引导学生从“方形度量”顺利过渡到“先量后算”，进而体会“用尺测量长度再计算面积”的缘由和优越性。

思考一：长方形各边的长度与其面积之间存在什么关系？

教师如何设计课堂教学内容，才能使学生不是死记硬背公式，而是理解并内化公式呢？根据以往的教学经验，我认为学生学习的难点在于“为什么分别测出长和宽的长度，就能求得面积”。长方形面积公式推导的一般教学流程是先用相同数量的小方形摆成不同的长方形，然后提炼面积公式。其依据是长方形的面积可以用单位面积去度量，不足之处在于难以让学生的思维从“用面积度量面积”向“用度量长度计算面积”过渡。因此，在设计本节课时，我让学生先用摆小方形的方法计算长方形的面积，再猜测并验证摆在长方形里面的1平方厘米的小正方形的数量与长方形边长的关系，使学生顺利沟通“用面积度量面积”与“用度量长度计算面积”之间的联系，认识到利用边长计算长方形面积的理论依据和可操作性。

思考二：如何从厘米过渡到平方厘米？

学生对于乘法的认识是“几个几的和”。以长为6厘米，宽为3厘米的长方形为例，基于乘法学习的经验，学生计算它的面积时得到的结果往往是6×3=18（厘米）。对此，教师可让学生在长方形中摆1平方厘米的小正方形，然后计算一共能摆多少个小正方形。每行有6个面积为1平方厘米的小正方形，共3行，长方形的面积等于小正方形面积的总和。由此，学生就能直观地认识到长方形面积的单位也应该是平方厘米。这样教学，学生顺利突破厘米与平方厘米之间的障碍，学习水平逐渐提高。

【教学目标】

1. 知识目标：学生能通过“摆一摆、数一数、量一量、算一算”，自主探究和发现长方形以及正方形面积的计算方法，经历面积公式的推导过程，能正确计算长方形和正方形的面积。

2.能力目标：通过分析图形之间的关系，促进空间观念进一步发展。

3.情感目标：通过探索数学的内在规律，感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣。

【教学重难点】

1.引导学生通过实践、观察和比较，推导长方形和正方形的面积公式。

2. 理解长方形和正方形面积公式的推导过程。

【教学过程】

一、唤醒旧知

1.复习面积概念：出示数学课本以及三角形图形，让学生分别指出它们的面积。

2.复习常用的面积单位：1平方厘米、1平方分米、1平方米。

3.揭示课题：这节课我们将深入学习面积的有关知识。

[设计意图：面积的计算建立在数方格的基础上，复习旧知，可为新知的学习做充分的铺垫。]

二、探究新知

1.长方形面积计算公式的推导

（1）猜一猜

师：这个信封里装着一个面积是4平方厘米的图形，猜猜它是什么形状的？

（2）拼一拼

让学生利用6个1平方厘米的小正方形拼成不同的长方形，然后汇报所拼成的长方形每行摆了几个小正方形，摆了多少行。

（3）估一估

①自由估一估任意一个长方形的面积。

②在所估的长方形里摆面积为1平方厘米的小正方形进行验证。

③让估得比较准确的学生说一说是怎样估的，并让他把想法展示出来。

[设计意图：引导学生尝试对长方形的面积进行估测，“导”中带估，以“估”带练，在练习中体验估算的方法，培养学生的空间观念和几何直观能力。]

（4）小结

师：用摆小正方形的方法计算，则长方形面积=每行的小正方形数量×行数，面积单位与小正方形的一致。

（5）制造认知冲突

师：如果要测量黑板的大小，我们也要用摆小正方形的方法来计算吗？有没有更简便的方法呢？

（6）探究长方形各边长度与其面积之间的关系

师：尺子只能测量长方形各边的长度，不能直接量出它的面积。长方形各边的长度和它的面积之间有什么关系呢？我们一起来研究研究。

师：面积是1平方厘米的小正方形的边长是1厘米，沿着长方形的长边摆6个小正方形，沿着宽边摆恰好能摆3个小正方形。从中你能知道什么？用尺子进行测量，验证一下吧。

生：沿长边能摆6个小正方形，说明长方形的长是6厘米；沿宽边摆能3个小正方形，说明长方形的宽是3厘米。因此，摆这个长方形一共要6×3=18（个）小正方形。

师：那么长方形的面积还可以怎么算？

长方形的面积=每行的6个×3行=18个1平方厘米

长：6厘米 宽：3厘米

师：也就是说，长方形的面积=长×宽=6厘米×3厘米。这个式子的结果的单位是什么？

生：厘米。

师：你确定吗？刚才我们用每行的6个乘以3行，等于18个1平方厘米，即6厘米×3厘米=18平方厘米。

① 练习

根据长方形的长和宽上所摆的小正方形个数，练习推导长方形的长和宽的长度。

② 感知测量的简洁

师：现在我们要测量这个长方形的面积，你想沿着它的长和宽摆小正方形，还是分别测量它的长和宽的长度呢？

生：测量长和宽的长度。

师：为什么量出长和宽的长度就可以计算它的面积呢？

生：能摆多少个小正方形边长就是多少厘米，反过来，根据长边的长度可以知道每行能摆多少个小正方形，根据宽边的长度就可以知道要摆多少行。

（7）总结用测量的方法计算长方形面积的方法

先在长方形中摆小正方形，数出每行的小正方形个数和小正方形的行数，然后用尺子测出长方形的长和宽。根据长和宽与每行的小正方形个数和小正方形行数的对应关系，得出：长方形面积=长×宽。

（8）对比优化

师：计算长方形面积的方法现在有“摆”和“量”这两种，你更喜欢哪一种？为什么？

[设计意图：开展“摆一摆”的探索活动，让学生经历通过实验研究建立数学模型的思维抽象过程，并通过测量、操作、观察、比较，总结规律，揭示长方形面积与其长和宽的关系，从而推导长方形面积的计算公式，并通过类比推理得出正方形的面積公式。这有利于学生建立长方形、正方形面积公式的表象。通过计算长方形的面积，进一步体验利用长和宽计算长方形面积的优越性。]

2.正方形面积计算公式的推导

（1）尝试计算正方形的面积。

（2）长方形与正方形之间存在什么关系？

[设计意图：引导学生根据长方形和正方形之间的关系，即正方形是长和宽相等的长方形，将长方形的面积计算公式迁移到正方形中，推导出正方形的面积计算公式=边长×边长，进一步发展学生的推理能力和空间观念。]

三、课堂总结，解决实际问题

1.这节课我们学习了哪些图形面积的计算？

2.通过这节课的学习，你有哪些收获？

3.运用今天学到的知识解决生活中的实际问题。

（1）独立完成

（2）展示，评价

[设计意图：带领学生回顾整节课的教学内容，梳理知识脉络，使之全面把握并巩固面积公式的推导过程：摆小正方形——量长方形的长和宽的长度——发现规律、形成方法——解决实际问题。]

【反思】

学生通过摆一摆、数一数、量一量、算一算等自主探究活动，发现长方形面积与其长和宽的关系，从而推导并掌握长方形面积的计算公式，并通过类比推理得出正方形的面积公式。这样教学，有助于学生建立长方形、正方形的面积公式的表象。同时，结合学生熟悉的物体引导学生尝试对长方形的面积进行估测，“导”中带估，以“估”带练，在练习中体验估算的方法，培养学生的空间观念和几何直观能力。在自主探究获得长方形、正方形面积的计算公式后设计应用性练习，如计算学校操场的面积和计算花坛的占地面积等，能有效引导学生将所学的知识应用于实际生活，感悟数学学习的价值与意义所在。通过实际问题的解决，学生将获得的理论知识转化为实践操作能力，既丰富了学生的生活经验，又提高了学生解决实际问题的能力，教学质量显著提高。

（责编 吴美玲）