以“数学品格”为核心的数学素养导向

邵兴华

摘 要：作为一种“看不见的手”，数学品格牵引着学生的数学思维，决定着学生的数学思想方法，在数学核心素养中居于核心位置。在小学数学教学中，教师必须重视学生数学品格的涵育。只有关注学生数学品格的涵育，才能让学生形成完整的数学核心素养。

关键词：数学品格；核心素养；教学导向

福建师范大学教授、博士生导师余文森先生指出，“核心素养是最关键、最重要、不可缺的素养。”就数学学科而言，其核心素养应该涵涉数学核心知识、能力与品格。在相当长的时间内，知识和能力始终居于主角位置而备受关注，品格作为配角则鲜有提及。一方面固然是因为人们关注应试，如考试、考分等；另一方面，则是因为人们往往只看到显性的、短期的实际功用，而忽略了内在、隐性、无形、长效之物。这长效之物就是数学之品格。在一个人的问题解决与学习生活过程中，数学品格犹如一只“看不见的手”，牵引着数学思维，决定着数学思想方法。在数学核心素养范畴中，品格应该居于核心位置。那么，在数学教学中，如何培养学生的数学品格呢？

一、问题解决，奠定数学品格之基础

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将数学从双基拓展为四基，相对于双基，四基更强调学生的问题解决能力，即学生运用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的能力。可见，问题解决能力不是解决问题能力，更不是解题。问题解决能力是学生能够经历从发现问题到提出问题一直到解决问题的全过程。在问题解决过程中，学生能够积淀丰富的数学活动经验，形成数学的基本思想方法。问题解决的本领从何而来，从“数学化”来。数学化是荷兰著名数学家弗赖登塔尔的观点。弗赖登塔尔认为，数学化包括横向数学化和纵向数学化，所谓“横向数学化”，就是学生将生活问题转换成数学问题，著名的七桥问题就是欧拉横向数学化的著名例子。所谓“纵向数学化”是在数学世界里对符号进行模塑、使用。不难看出，横向数学化依靠数学的猜想力、判断力、抽象力等，纵向数学化依靠数学的逻辑力、推理力等。

例如教学《认识三角形》（北师大版数学教材第8册）后，教师可以出示这样的问题情境：A和B分别住在一条小河的两侧，现在要在河上修一座桥，桥应该修筑在小河的什么地方？这是学生生活中的问题，因此学生对于这样的问题并不陌生。他们尝试画图，并且在画图的过程中将小河抽象成一条直线，将A、B两户人家抽象成数学上的两个点（横向数学化）。通过直觉，即“两点之间线段最短”（纵向数学化），连接AB，交小河于点C，C点就是修筑小桥的地方。由于学生刚刚学过“三角形任意两条边的和都大于第三条边”，笔者引导学生在直线（小河）上再取两点，并说出理由。孩子们看到，他们构造了几个三角形，且这几个三角形都有一条公共边，这条公共边小于另外两条边的和（纵向数学化，根据“三角形三边关系”）。在此基础上，笔者将这个问题情境进行变换：A和B分别住在一条小河的同侧，现在要在河上修一座桥，桥应该修筑在小河的什么地方？学生依然将问题情境横向数学化，转化成在直线的同侧有两个点，如何在直线上找到一个点，使得直线上的点与这两个同侧点之间的连线最短。然后，学生借助刚才的问题解决经验，通过作A点的对称点或者作B点的对称点，将AB两点从同侧转化成异侧，连接AB，与直线的交点就是修筑小桥的地方。在对现实问题进行数学化的过程中，学生需要借助相關的数学知识，但这里的数学知识不再是死的知识，而是一种灵活运用知识的能力。

二、数学思维，形成数学品格之关键

数学是一门理性的学科。在《现代汉语词典》中，理性与感性相对，指判断、推理等活动能力。在理性的范畴下，思维能力应该是内核。笔者认为数学教学要凸显“数学地思维”，甚至“通过数学学习学会思维”（郑毓信语）。数学理性注重定量、精确的思维方式，注重批判性思维，注重反思性思维等。在数学教学中，教师要“引导学生运用思维方法的分析去带动具体知识内容的学习”。基于思维教，围绕思维学，能够让学生形成良好的数学品格。数学思维的内涵极其丰富，归纳与演绎、分析与综合、抽象与概括、特殊化与一般化等。教学中教师不应让学生仅仅停留在这些具体的思维上，更为重要的是要引发学生的思维自觉，培养学生的思维品格。

例如教学《认识千米》（北师大版数学教材第4册），在学生通过各种方式建立了“千米”的表象，认识了“千米与米”的进率后，具有良好数学意识和数学批判性思维的学生会主动问学，“老师，在我们已经学习的长度单位中，毫米、厘米、分米、米之间的进率都是10，米和千米之间的进率是1000，米和千米之间有没有其他的长度单位了？”是啊，这里确实有一个明显的跨越，对学生来说是一个明显的疑点。我们通常说相邻两个长度单位之间的进率是十，言外之意也就是这里的米和千米并不是相邻的单位，那么在米和千米之间还有哪些长度单位呢？笔者借助互联网，认识到在米和千米之间确实存在着“十米”和“百米”这两个单位，由于这两个单位在生活中很少运用，因此教材中并没有收录、介绍。教学这两个单位时，如果我们将这两个单位放进去，学生就能感受到数学的严谨，感受到数学知识是如此的规律，如此的严密。从毫米到千米，甚至学生还会在课后继续探究下去，认识到微观世界的长度单位如丝米、忽米、微米、纳米等，认识宇观世界的长度单位如光年等。这样的认识和理解是超越经验的，学生借助理性的思考能够领悟到知识的本质。在教学中教师要导引学生学会发问，如“是什么？”“为什么？”“怎么样？”等。如此，理性的种子必将在学生的心中生根发芽开花，学生的数学品格才能逐渐形成。

三、数学思想，赋予数学品格以质感

数学思想是学生的精神实体。什么是数学思想？数学思想的内涵很丰富，假设思想、转化思想、类比思想、数形结合思想、整体思想、建模思想等。数学思想具有内隐性、统摄性的特质，丰富的数学思想能够赋予数学品格以厚重的质感。美国著名数学教育家柯朗？罗宾曾经这样说，“数学作为人类智慧的一种表达方式，反映生动活泼的意念、深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和知觉，分析和推进，共性与个性。”而日本著名学者米山国藏曾经这样说，“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，随时随地地发生作用，使人终身受益。”

例如教学《圆锥的体积》（北师大版数学教材第12册），一般教师是直接出示等底等高的圆柱和圆锥让学生展开实验，更有甚者运用多媒体演示实验过程。试问，为什么要选用等底等高的圆柱和圆锥呢？多媒体演示的实验可信吗？是不是教师的精心预设呢？是不是忽悠人的呢？学生会产生一系列疑问。笔者在教学时充分发挥学生的主体性，激活学生的数学思维，让学生运用数学的思想方法解决问题，使得教学富有深度，让教学真正发生。

师：我们已经学习了圆柱的体积，这儿有一个圆锥，用怎样的办法可以得到圆锥的体积呢？

生1：可以將圆锥形的容器装满水，将水倒进量筒里，就能测量出圆锥的体积。（转化思想）

生2：我反对，这样测量的不是圆锥的体积，而是圆锥的容积。

生1：那么，我就将整个的圆锥形物体浸入水中，溢出来的水的体积就是圆锥的体积。（转化思想）

生3：如果圆锥很大怎么办呢？

生4：和圆柱的体积一样，我们推导出圆锥的体积公式，只要运用公式就可以了。（模型思想）

师：猜想一下，圆锥的体积和圆锥的什么因素有关？

生5：圆柱的体积与底面积、高有关，我想圆锥的体积也应该与底面积、高有关。（类比思想）

生6：我们在学习三角形、梯形面积时是转化成平行四边形的面积的，我想圆锥的体积是否也可以转化成圆柱的体积？（类比思想）

生7：我们可以将圆锥装满水，倒入圆柱中，看看倒几次？（实验思想）

……

学生在数学思想的激荡下，选择了等底等高的圆锥和圆柱，这是因为他们认识到，只有等底等高的圆柱和圆锥才便于转化、便于比较。数学思想在这里成为学生主体能动的认知，他们在相互启发中探究数学知识。

四、文化精神，闪烁数学品格之光辉

在深层次的数学素养意义上，数学是一种文化。数学教育必须以数学独有的品格来濡染学生的身心，让学生练就一种数学的眼光和头脑。数学的文化品格不仅包括数学的思想方法，更包括数学情感、对数学的态度以及数学价值观、数学人格修养等。文化来自于学生对数学内在美的追寻，来自数学本身的精神映射。

例如教学《年、月、日》（北师大数学教材第5册），一位教师在学生通过“地球自转”“地球公转”“月球公转”等天文知识推算出“四年一闰，百年不闰，四百年又闰”的闰年规律后，为了让学生更加深刻地体验“年月日”的分布规律，便让学生在课后用自己喜欢的方式“造日历”，充分发挥学生独特的创造性智慧、情趣。学生创造性的智慧表达、灵性表达让教师始料未及。有学生突破了日常生活中日历平面化、单一化的特质，呈现出了多元化、立体化的日历模型。如有学生用正12面体，将一年的12个月分别在每个面上显示出来，旋转正12面体，一年的时间便得到生动展现；有学生将一年分成了四个季度，每个季度三个月，用四个三棱锥进行展示，每个三棱锥的竖着的三个面分别展示每个季度中的一个月，这样，一年的时间也得到生动展现；有学生将一年分成上半年和下半年，用两个正方体分别进行展示，每个正方体的六个面分别展示半年中的每个月的时间，这样，一年的时间同样得到生动展现。在这个过程中，学生的数学意趣得到了最佳的凸显和弘扬。

爱因斯坦说，“什么是素质？素质就是一个人遗忘了在学校所学的所有知识后剩下的东西”。这剩下的东西是什么？毫无疑问，应该是一种数学品格。数学品格是包括数学思想方法在内的一切数学文化、数学精神实体。在数学教育中，只有关注学生数学品格的涵育，才能让学生形成完整的数学核心素养。